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Aufgabe

Bestimmung der PLANCK-Konstante (Abitur BY 2019 Ph12-1 A2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Am 20. Mai 2019 wurde das Ur-Kilogramm „in Rente geschickt“. Die Neudefinition des Kilogramms wurde auf die PLANCK-Konstante \(h\) zurückgeführt, deren exakten Bestimmung man sich in den vergangenen 100 Jahren immer wieder in verschiedenen Versuchen gewidmet hat. Der äußere Photoeffekt bei einer Vakuumphotozelle bietet eine Möglichkeit, diese Naturkonstante zu bestimmen.

a)Durch einen Versuch soll die maximale kinetische Energie der bei Bestrahlung mit Licht ausgelösten Photoelektronen in Abhängigkeit von der Frequenz des Lichts bestimmt werden.

Fertige eine beschriftete Skizze eines geeigneten Versuchsaufbaus an.

Erläutere das experimentelle Vorgehen. (7 BE)

b)Für die Spannung \(U_{\rm{G}}\) zwischen Kathode und Anode einer Vakuumphotozelle, bei welcher der Photostrom zum Erliegen kommt, ergeben sich in Abhängigkeit von der Frequenz \(f\) des Lichts die in Tab. 1 dargestellten Werte.

Tab. 1
\(f\;\rm{in}\;10^{14}\,\rm{Hz}\) \(5{,}85\) \(6{,}09\) \(6{,}88\) \(7{,}38\)
\(U_{\rm{G}}\;\rm{in}\;\rm{V}\) \(0{,}15\) \(0{,}23\) \(0{,}56\) \(0{,}76\)

Erstelle aus den Messwerten ein geeignetes Diagramm.

Bestimme daraus die Grenzfrequenz \(f_{\rm{G}}\) und die PLANCK-Konstante \(h\). (9 BE)

Abb. 1 Diagramm zu Teilaufgabe c)

c)Unter Verwendung des Literaturwerts für \(h\) lässt sich das Diagramm in Abb. 1 erstellen. Eine Abiturientin behauptet, dass sich daraus bei Kenntnis des Werts für die Austrittsarbeit des Kathodenmaterials die zugehörige Grenzfrequenz \(f_{\rm{G}}\) ermitteln lässt.

Nimm zu dieser Behauptung Stellung. (4 BE)

Abb. 2 Diagramm zu Teilaufgabe d)

Eine weitere Möglichkeit, die PLANCK-Konstante zu ermitteln, bietet der FRANCK-HERTZ-Versuch. Im Experiment ergibt sich für die Abhängigkeit der Stromstärke \(I\) von der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) das in Abb. 2 dargestellte Diagramm. Von der mit Quecksilberdampf gefüllten Röhre geht Strahlung der Wellenlänge \(254\,\rm{nm}\) aus.

d)Ermittle anhand des Diagramms einen Wert für die Naturkonstante \(h\).

Erläutere dein Vorgehen.

Bestimme die prozentuale Abweichung des ermittelten Wertes vom Literaturwert. (7 BE)

Als dritte Variante lässt sich die PLANCK-Konstante \(h\) bei Kenntnis der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) der Elektronen aus der Auswertung des Spektrums einer RÖNTGEN-Röhre ermitteln.

e)Stelle eine Formel zur Bestimmung von \(h\) auf.

Gib an, wie du die Werte für die in der Formel vorkommenden Größen erhältst. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

Abb. 3 Aufbau des Versuchs zur Bestimmung der PLANCK-Konstante

a)Mit Hilfe der Spektral-Lampe, des Kondensors und der verschiedenen Interferenzfilter erzeugt man nacheinander Lichtbündel verschiedener Frequenz. Das Licht löst an der Kathode der Fotozelle Elektronen aus, die sich zur Anode hinbewegen (solange keine äußere Spannung \(U\) anliegt).

Um die maximale kinetische Energie der Fotoelektronen zu bestimmen erhöht man die Gegenspannung zwischen Kathode und Anode so lange, bis der Fotostrom \(I\) zum Erliegen kommt.

Abb. 4 Diagramm und Auswertung

b)Aus dem Diagramm kann man die Grenzfrequenz \(f_{\rm{G}} = 5{,}05 \cdot 10^{14}\,\rm{Hz}\) ablesen.

Wegen des Energieerhaltungssatzes \(h \cdot f = {W_0} + {E_{{\rm{kin,e}}}}\) gilt für die in Abb. 4 markierten Wertepaare (1) und (2) \(h \cdot {f_1} = {E_{{\rm{kin,e,1}}}} + {W_0} (1)\) bzw. \(h \cdot {f_2} = {E_{{\rm{kin,e,2}}}} + {W_0} (2)\). Subtrahiert man von Gleichung \((2)\) die Gleichung \((1)\), so folgt\[\begin{eqnarray}h \cdot \left( {{f_2} - {f_1}} \right) &=& {E_{{\rm{kin}},{\rm{e}},{\rm{2}}}} - {E_{{\rm{kin}},{\rm{e}},{\rm{1}}}}\\ \Leftrightarrow h \cdot \left( {{f_2} - {f_1}} \right) &=& e \cdot {U_2} - e \cdot {U_1}\\ \Leftrightarrow h &=& \frac{{e \cdot \left( {{U_2} - {U_1}} \right)}}{{{f_2} - {f_1}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = \frac{{0{,}76\,{\rm{eV}} - 0{,}\,23{\rm{eV}}}}{\left( {7{,}38 \cdot {10}^{14}\,\frac{1}{\rm{s}}- 6{,}09} \cdot {10}^{14}\,\frac{1}{\rm{s}} \right)} = 4{,}1 \cdot 1{0^{ - 15}}{\rm{eVs}}\]

Abb. 5 Bestimmung der Grenzfrequenz aus dem Diagramm

c)Die Abiturientin hat Recht. Allgemein gilt der Energieerhaltungssatz \[{E_{{\rm{Ph}}}} = {E_{{\rm{kin,e}}}} + {W_0} \quad(1)\]Der Grenzfall ist erreicht, wenn \({E_{{\rm{kin,e}}}} = 0\). Aus Gleichung \((1)\) wird dann \[{E_{{\rm{Ph,G}}}} = {W_0}\quad(2)\]Zeichnet man in die Grafik eine Parallele zur \(f\)-Achse in der Höhe \(W_0\) (hier z.B. \(1{,}6\,\rm{eV}\)) und am Schnittpunkt dieser Parallele mit dem Graphen eine Senkrechte zur \(E_{\rm{Ph}}\)-Achse, so kann man am Schnittpunkt der Senkrechten mit der \(f\)-Achse die Grenzfrequenz \(f_{\rm{G}}\) (hier dann ca. \(3{,}9\cdot 10^{14}\,\rm{Hz}\)) ablesen.

Abb. 6

d)Der energetische Abstand zweier benachbarter Maxima beträgt stets annähernd \(5{,}0\,\rm{V}\). Das Absinken des Stromes nach dem lokalen Maximalwert ist dadurch zu erklären, dass die Elektronen kurz vor der Anode des FRANCK-HERTZ-Rohres Quecksilber-Atome anregen und dabei so viel Energie verlieren, dass das zwischen Anode und Auffänger bestehende Gegenfeld nicht mehr überwinden können. Der Auffängerstrom sinkt dadurch ab. Hieraus kann man schließen, dass es im Quecksilberatom zwei Niveaus geben muss, zwischen denen eine Energiedifferenz von ca. \(5{,}0\,\rm{eV}\) bestehen muss. Wenn das Atom vom angeregten Zustand in den Ausgangszustand zurückgeht, wird ein Photon mit der Energie \(5{,}0\,\rm{eV}\) emittiert. Damit ergibt sich\[{E_{{\rm{Ph}}}} = e \cdot \Delta {U_{\rm{B}}} \Leftrightarrow \frac{{h \cdot c}}{\lambda } = e \cdot \Delta {U_{\rm{B}}} \Leftrightarrow h = \frac{{e \cdot \Delta {U_{\rm{B}}} \cdot \lambda }}{c}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = \frac{{{5{,}0\,{\rm{eV}} \cdot 254 \cdot 10^{ - 9}}\,{\rm{m}}}}{{2{,}998 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 4{,}24 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{eVs}}\]Die relative Abweichung zum Literaturwert beträgt dann\[p\%  = \frac{{\left| {{h_{{\rm{Lit}}}} - {h_{{\rm{Exp}}}}} \right|}}{{{h_{{\rm{Lit}}}}}} \Rightarrow p\%  = \frac{{\left| {4{,}14 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{eVs}} - 4{,}24 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{eVs}}} \right|}}{{4{,}14 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{eVs}}}} = 0{,}024 = 2{,}4\% \]

Abb. 7 Beispiel für ein Bremsspektrum

e)Werden Elektronen in einer Vakuumröhre durch eine hohe Spannung \(U_{\rm{B}}\) beschleunigt, so entsteht beim Auftreffen auf die Anode ein kontinuierliches RÖNTGEN-Spektrum mit einer scharfen kurzwelligen Grenze mit der Wellenlänge \({\lambda _{\rm{G}}}\). Man geht davon aus, dass an der kurzwelligen Grenze des RÖNTGEN-Spektrums die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin,e}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\) der Elektronen vollkommen in die Energie \({E_{{\rm{Ph,G}}}} = h \cdot {f_{\rm{G}}}\) eines RÖNTGEN-Quants übergeht. Aus dem Energieerhaltungssatz ergibt sich dann\[{E_{{\rm{Ph}}{\rm{,G}}}} = {E_{{\rm{kin}}{\rm{,e}}}} \Leftrightarrow h \cdot {f_{\rm{G}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}} \Leftrightarrow h \cdot \frac{c}{{{\lambda _{\rm{G}}}}} = e \cdot {U_B} \Leftrightarrow h = \frac{{e \cdot {U_{\rm{B}}} \cdot {\lambda _{\rm{G}}}}}{c}\]\(U_{\rm{B}}\) erhält man durch die Messung der Beschleunigungsspannung an der RÖNTGEN-Röhre, \(\lambda_{\rm{G}}\) kann man durch Ausmessen des kontinuierlichen Spektrums der RÖNTGEN-Röhre z.B. mit der BRAGGschen Drehkristallmethode bestimmen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Atomphysik

RÖNTGEN-Strahlung