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Aufgabe

Aus wie vielen Atomen besteht ein Mensch?

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

a)Schätze mit Hilfe vernünftiger Annahmen ab, aus wie vielen Atomen ein Mensch besteht.

b)Ermittle, ob die Atome eines Menschen aneinandergereiht eine Kette ergeben, die so lang ist wie die Entfernung Sonne-Erde.

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a)Für eine erste grobe Abschätzung wird davon ausgegangen, dass der Mensch die Masse \(70\rm{kg}\) hat (Normmensch) und er zu 80% (Masseprozent) aus Wasser und zu 20% aus Kohlenstoff besteht. Die anderen Elemente werden für die Grobabschätzung vernachlässigt. Damit beträgt beim Normalmenschen die Masse des Masse des Wassers  \({m_{{\rm{Wasser}}}} = 0,80 \cdot 70{\rm{kg}} = 56{\rm{kg}}\) und die Masse des Kohlenstoffs \({m_{{\rm{Kohlenstoff}}}} = 0,20 \cdot 70{\rm{kg}} = 14{\rm{kg}}\).

Wasser (H2O) besteht aus Wasserstoff (relative Atommasse 1) und Sauerstoff (relative Atommasse 16). Somit gilt für die Masse von Wasserstoff und Sauerstoff beim Normalmenschen
\[{m_{{\rm{Wasserstoff}}}} = \frac{2}{{2 + 16}} \cdot 56{\rm{kg}} \approx {\rm{6kg}}\;{\rm{;}}\;{m_{{\rm{Sauerstoff}}}} = \frac{{16}}{{2 + 16}} \cdot 56{\rm{kg}} \approx {\rm{50kg}}\]
Die Anzahl \(N\) Atome in einem Element mit der relativen Atommasse \(A_{\rm{r}}\) berechnet sich mittels der AVOGADRO-Zahl \(N_{\rm{A}}\)
\[\frac{N}{{{N_{\rm{A}}}}} = \frac{m}{{{A_{\rm{r}}}{\rm{kg}}}} \Rightarrow N = {N_{\rm{A}}} \cdot \frac{m}{{{A_{\rm{r}}}{\rm{kg}}}}\]
Damit ergeben sich für Wasserstoff und Sauerstoff die Abschätzungen
\[{N_{{\rm{Wasserstoff}}}} = 6 \cdot {10^{26}} \cdot \frac{{{\rm{6kg}}}}{{1{\rm{kg}}}}\; \approx 4 \cdot {10^{27}}{\rm{;}}\;{N_{{\rm{Sauerstoff}}}} = 6 \cdot {10^{26}} \cdot \frac{{{\rm{50kg}}}}{{16{\rm{kg}}}} \approx 2 \cdot {10^{27}}\]
Für Kohlenstoff (relative Atommasse 12) ergibt sich die Abschätzung
\[{N_{{\rm{Kohlenstoff}}}} = 6 \cdot {10^{26}} \cdot \frac{{{\rm{14kg}}}}{{12{\rm{kg}}}} \approx 0,7 \cdot {10^{27}}\]
Insgesamt besteht der Normalmensch nach dieser Abschätzung aus ca. \(6,7 \cdot {10^{27}}\) Atomen.

b)Geht man davon aus, dass im Mittel jedes Atom den Durchmesser \({10^{ - 10}}{\rm{m}}\) besitzt, so ergibt sich bei einer Aneinanderreihung der Atome des Normalmenschen eine Kettenlänge von \(6,7 \cdot {10^{27}} \cdot 1 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}} = 6,7 \cdot {10^{17}}{\rm{m}}\). Da die Entfernung Erde-Sonne etwa \(1,5 \cdot {10^{11}}{\rm{m}}\) ist, kann die Strecke zwischen Erde und Sonne mit den Atomen etwa \(\frac{{6,7 \cdot {{10}^{17}}{\rm{m}}}}{{1,5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}} \approx 4 \cdot {10^6}\) Mal ausgelegt werden.

Wenn Sie sich über die genauere Zusammensetzung des menschlichen Körpers aus den Elementen interessieren, so betrachten Sie die folgende Tabelle:

Element
Masse in \(\rm{kg}\)
relative Atommasse\(A_{\rm{r}}\)
Sauerstoff
45,5
16
Kohlenstoff
12,6
12
Wasserstoff
7,00
1
Stickstoff
2,10
14
Calcium
1,05
40
Phosphor
0,700
31
Schwefel
0,175
32
Kalium
0,140
39
Natrium
0,105
23
Chlor
0,105
36
Magnesium
0,035
24
Eisen
0,004
56
Kupfer
0,0001
64
Jod
0,00003
127