Planetensystem

Für die Differenz der anziehenden Planetenkräfte, die die beiden Kugeln neben der unterschiedlichen "Zentrifugalkraft" auseinander zieht, gilt
\[\begin{eqnarray}\Delta F &=& {F_{{\rm{G}}{\rm{,1}}}} - {F_{{\rm{G}}{\rm{,2}}}}\\ &=& G \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot m \cdot \left( {\frac{1}{{{{\left( {R - r} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}} \right)\\ &=& G \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot m \cdot \frac{{{R^2} + 2 \cdot R \cdot r + {r^2} - {R^2} + 2 \cdot R \cdot r - {r^2}}}{{{{\left( {R - r} \right)}^2} \cdot {{\left( {R + r} \right)}^2}}}\\ &=& G \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot m \cdot \frac{{4 \cdot R \cdot r}}{{{{\left( {R - r} \right)}^2} \cdot {{\left( {R + r} \right)}^2}}}\end{eqnarray}\]
Daraus folgt für \(R \gg r\) und damit \(R - r \approx R + r \approx R\)
\[\Delta F \approx G \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot m \cdot \frac{{4 \cdot R \cdot r}}{{{R^4}}} = G \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot m \cdot \frac{{4 \cdot r}}{{{R^3}}}\]
Für die die Kugeln zusammen haltende Gravitationskraft gilt
\[{F_{12}} = G \cdot m \cdot m \cdot \frac{1}{{{{(2 \cdot r)}^2}}}\]
und damit
\[\Delta F > {F_{12}} \Leftrightarrow G \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot m \cdot \frac{{4r}}{{{R^3}}} > G \cdot m \cdot m \cdot \frac{1}{{{{(2r)}^2}}} \Rightarrow R < \sqrt[3]{{16 \cdot {r^3} \cdot \frac{{{m_{\rm{P}}}}}{m}}} = {R_{\rm{R}}}\]

\[{R_{\rm{R}}} = \sqrt[3]{{16{r^3} \cdot \frac{{\frac{4}{3} \cdot {r_{\rm{P}}}^3 \cdot \pi  \cdot {\rho _{\rm{P}}}}}{{\frac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi  \cdot {\rho _m}}}}} = 2,5 \cdot {r_{\rm{P}}} \cdot \sqrt[3]{{\frac{{{\rho _{\rm{P}}}}}{{{\rho _m}}}}}\]