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Aufgabe

Cepheiden und Weltalter (Abitur BY 2001 GK A6-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a)Bei einem typischen δ -Cepheiden liegt die Temperatur im Helligkeitsminimum bei \(6000\,\rm{K}\) und im Helligkeitsmaximum bei \(7500\,\rm{K}\). Dabei kann man davon ausgehen, dass der Stern im Minimum ungefähr denselben Radius wie im Maximum hat. Berechnen Sie das Verhältnis aus maximaler und minimaler Leuchtkraft und bestimmen Sie damit den maximalen Unterschied in der scheinbaren Helligkeit des Cepheiden. (6 BE)

b)Neuere Untersuchungen könnten darauf hindeuten, dass alle Cepheiden in unserer Milchstraße weiter von uns entfernt sind als man bisher annahm. Bewerten Sie in diesem Zusammenhang die Ergebnisse der früher durchgeführten Leuchtkraftberechnungen für diese Cepheiden. Begründen Sie, dass damit auch ferne Galaxien, deren Entfernung man mit Hilfe der Cepheiden bestimmt hat, weiter von uns weg sind als bisher angenommen. Welche Bedeutung hat dies für den Wert der Hubblekonstanten und wie wirkt sich dies auf unsere bisherige Vorstellung vom Alter des Universums aus? Begründen Sie Ihre Antwort. (8 BE)

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a)Aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz folgt: \[ \frac{L_{max}}{L_{min}} = \frac{\sigma \cdot A \cdot T_{max}^4}{\sigma \cdot A \cdot T_{min}^4} = \left( \frac{T_{max}}{T_{min}} \right)^4 \Rightarrow \frac{L_{max}}{L_{min}} = \left( \frac{7500}{6000} \right)^4 = 2{,}44 \] \[ m_{max} - m_{min} = -2{,}5 \cdot \log{\left( \frac{L_{max}}{L_{min}} \right)} \Rightarrow m_{max} - m_{min} = -2{,}5 \cdot \log{(2{,}44)} = -0{,}97 \]

b)Bei der Cepheidenmethode bestimmt man die mittlere absolute Helligkeit aus der Periodendauer der Helligkeit. Dieser Wert wurde aus Messdaten von Cepheiden der Magellanschen Wolke, die man der Milchstraße zuordnet und deren Entfernung man durch andere Methoden bestimmte, gewonnen. Wenn diese Entfernungsbestimmungen zu kurz waren, so ist, weil die relative Helligkeit und die Periodendauer sicher richtig bestimmt wurde, die absolute Helligkeit bzw. die Leuchtkraft der Cepheiden größer als angenommen. Bei Sternen gleicher scheinbarer Helligkeit hat der mit der größeren absoluten Helligkeit die größere Entfernung. Deshalb haben alle Galaxien, deren Entfernung durch die Cepheidenmethode bestimmt wurden eine größere Entfernung als bisher angenommen, wenn die Cepheiden eine größere absolute Helligkeit haben als angenommen.

Da die Hubblekonstante \(H_0\) der Quotient aus Radialgeschwindigkeit \(v\) und Abstand \(r\) für alle fernen Galaxien ist, bedeutet ein größeres \(r\) bei gleichem \(v\) eine kleinere Hubblekonstante. Da das Weltalter der Kehrwert der Hubblekonstante ist, heißt dies, dass das Weltalter größer als bisher angenommen ist.