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Aufgabe

Galaxien und Weltalter (Abitur BY 1999 GK A6-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Zur Ermittlung der Entfernung von weit entfernten Galaxien benutzt man gelegentlich die Annahme, dass der Durchmesser ausgewählter Standard-Galaxien etwa \(1{,}0\cdot10^5\,\rm{Lj}\) beträgt. Dieser Wert des Durchmessers sei mit einem Fehler von \(10\,\%\) behaftet. Man untersucht nun eine solche Galaxie GX.

a)Berechnen Sie die Entfernung von GX, wenn ihr Winkeldurchmesser zu \(1{,}0'\) bestimmt wurde. Geben Sie hierfür das Intervall für die wahre Entfernung von GX an. [zur Kontrolle: [95 Mpc; 116 Mpc]] (5 BE)

Unabhängig davon wurde für die Galaxie GX die Fluchtgeschwindigkeit ermittelt. Forscherteams haben hierzu Rotverschiebungen \(z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \) im Intervall zwischen \(z_1=0{,}018\) und \(z_2=0{,}024\) gemessen.

b)Berechnen Sie aus den bisherigen Angaben den kleinstmöglichen und den größtmöglichen Wert für die Hubble-Konstante \(H_0\). (5 BE)

c)Aus H0 lässt sich das Weltalter bestimmen. Welche vereinfachende Annahme macht man dabei?
Welcher Bereich ergibt sich für das Weltalter in Jahren, wenn für \(H_0\) das Intervall \( \left[ 46\frac{\rm{km/s}}{\rm{Mpc}} ; 76\frac{\rm{km/s}}{\rm{Mpc}} \right] \) gefunden wurde? (6 BE)

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a)Im Bogenmaß: \( \alpha = \frac{d}{a} \Rightarrow a = \frac{d}{\alpha}\) \[\Rightarrow a_{G_x} = \frac{10^5\,\rm{Lj} \cdot 180 \cdot 60}{\pi} \pm 10\% = 3{,}44 \cdot 10^8\,\rm{Lj} \pm 10\% = 1{,}05 \cdot 10^8\,\rm{pc} \pm 10\% \] Daraus ergibt sich das Intervall \( \left[ 95\rm{Mpc} ; 116\rm{Mpc} \right] \)

b)Es gilt\[ \begin{array}{} v = z \cdot c \Rightarrow v_1 = 0,018 \cdot c = 5,4 \cdot 10^6 \rm{m/s } ; v_2 = 0,024 \cdot c = 7,2 \cdot 10^6 \rm{m/s} \\\\
H_0 = \frac{v}{r} \Rightarrow H_{0, min} = \frac{5,4 \cdot 10^3 \rm{km/s}}{116 \rm{Mpc}} = 46\frac{\rm{km/s}}{\rm{Mpc}} \text{und } H_{0, max} = \frac{7,2 \cdot 10^3 \rm{km/s}}{95 \rm{Mpc}} = 76\frac{\rm{km/s}}{\rm{Mpc}} \end{array} \]

c)Geht man von der vereinfachten Annahme aus, dass die Hubblekonstante immer gleich war, so ist die Zeit seit dem Urknall: \[ \begin{array}{} t = \frac{r}{v} = \frac{r}{H_0 \cdot r} = \frac{1}{H_0} \Rightarrow \\\\
\frac{1\rm{Mpc}}{46\rm{km/s}} = \frac{3,08 \cdot 10^{22}\rm{m}}{46 \cdot 10^3\rm{m/s}} = 6,7 \cdot 10^{17} \rm{s} = 2,1 \cdot 10^{10} \rm{a} \\\\
\frac{1\rm{Mpc}}{72\rm{km/s}} = \frac{3,08 \cdot 10^{22}\rm{m}}{72 \cdot 10^3\rm{m/s}} = 4,3 \cdot 10^{17} \rm{s} = 1,3 \cdot 10^{10} \rm{a} \end{array} \] Das Weltalter liegt demnach im Bereich von \(1{,}3\cdot 10^{10}\,\rm{a}\) bis \(2{,}1\cdot 10^{10}\,\rm{a}\)