a)Im Bogenmaß: \( \alpha = \frac{d}{a} \Rightarrow a = \frac{d}{\alpha}\)
\[\Rightarrow a_{G_x} = \frac{10^5\,\rm{Lj} \cdot 180 \cdot 60}{\pi} \pm 10\% = 3{,}44 \cdot 10^8\,\rm{Lj} \pm 10\% = 1{,}05 \cdot 10^8\,\rm{pc} \pm 10\% \]
Daraus ergibt sich das Intervall \( \left[ 95\rm{Mpc} ; 116\rm{Mpc} \right] \)
b)Es gilt\[ \begin{array}{} v = z \cdot c \Rightarrow v_1 = 0,018 \cdot c = 5,4 \cdot 10^6 \rm{m/s } ; v_2 = 0,024 \cdot c = 7,2 \cdot 10^6 \rm{m/s} \\\\
H_0 = \frac{v}{r} \Rightarrow H_{0, min} = \frac{5,4 \cdot 10^3 \rm{km/s}}{116 \rm{Mpc}} = 46\frac{\rm{km/s}}{\rm{Mpc}} \text{und } H_{0, max} = \frac{7,2 \cdot 10^3 \rm{km/s}}{95 \rm{Mpc}} = 76\frac{\rm{km/s}}{\rm{Mpc}} \end{array} \]
c)Geht man von der vereinfachten Annahme aus, dass die Hubblekonstante immer gleich war, so ist die Zeit seit dem Urknall:
\[ \begin{array}{} t = \frac{r}{v} = \frac{r}{H_0 \cdot r} = \frac{1}{H_0} \Rightarrow \\\\
\frac{1\rm{Mpc}}{46\rm{km/s}} = \frac{3,08 \cdot 10^{22}\rm{m}}{46 \cdot 10^3\rm{m/s}} = 6,7 \cdot 10^{17} \rm{s} = 2,1 \cdot 10^{10} \rm{a} \\\\
\frac{1\rm{Mpc}}{72\rm{km/s}} = \frac{3,08 \cdot 10^{22}\rm{m}}{72 \cdot 10^3\rm{m/s}} = 4,3 \cdot 10^{17} \rm{s} = 1,3 \cdot 10^{10} \rm{a} \end{array} \]
Das Weltalter liegt demnach im Bereich von \(1{,}3\cdot 10^{10}\,\rm{a}\) bis \(2{,}1\cdot 10^{10}\,\rm{a}\)