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Aufgabe

Crabnebel und Supernovae (Abitur BY 2009 GK A6-2&3)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

1. Der Crabnebel

Der Crabnebel M1 im Sternbild Stier gilt als Überrest einer Supernova, die von chinesischen Astronomen im Jahr 1054 n. Chr. beobachtet wurde. Die historischen Berichte legen eine scheinbare Helligkeit von -6 Magnituden nahe. Akutelle Messungen ergaben für den \(6{,}3\cdot 10^3\,\rm{Lj}\) entfernten Nebel einen Winkeldurchmesser von \(6{,}0'\). Dieser vergrößert sich mit einer Expansionsrate von \(0{,}38''\) pro Jahr. Man kann vereinfachend von einer gleichförmigen Expansion des Nebels ausgehen.

a)Zeigen Sie, dass sich aus der Expansionsrate das richtige Alter des Nebels ergibt. (3 BE)

b)Ermitteln Sie die Expansionsgeschwindigkeit des Nebels. (5 BE)

c)Berechnen Sie die Leuchtkraft der Supernova von 1054 in Vielfachen der Sonnenleuchtkraft. (6 BE)

Im Zentrum des Nebels befindet sich ein Neutronenstern, der mit der Periode \(T = 33{\rm{ms}}\) rotiert. Der Neutronenstern kann bei einer derart schnellen Rotation nur dann durch Gravitationskräfte zusammengehalten werden, wenn seine mittlere Dichte \(\rho \) einen gewissen Mindestwert überschreitet.

d)Zeigen Sie, dass für diesen Mindestwert der Ausdruck \(\rho  = \frac{{3 \cdot \pi }}{{G \cdot {T^2}}}\) gilt, wobei \(G\) die Gravitationskonstante ist. Betrachten Sie hierfür die Gravitationskraft und die Zentripetalkraft, die auf eine kleine Masse \(m\) am Äquator des Neutronensterns wirken. (7 BE)

e)Bestimmen Sie den Mindestwert der mittleren Dichte des Neutronensterns im Crabnebel. (3 BE)

2. Supernovae

Man unterscheidet verschiedene Typen von Supernovae. Supernovae vom Typ II treten im Spätstadium massereicher Sterne auf. Supernovae vom Typ Ia können sich dagegen in Doppelsternsystemen mit einem Weißen Zwerg ereignen.

a)Erläutern Sie die Entwicklung eines massereichen Sterns zum Neutronenstern und gehen Sie dabei auch kurz auf die Vorgänge bei einer Supernova vom Typ II ein. (7 BE)

Supernovae vom Typ Ia beobachtet man sowohl in nahen als auch in fernen Galaxien. Man geht davon aus, dass sie immer die gleiche maximale Helligkeit besitzen.

b)Welche Daten weit entfernter Galaxien sind zur Bestimmung der Hubblekonstante erforderlich? Erläutern Sie, wie man diese Daten erhält. Gehen Sie dabei auch auf die Bedeutung von Supernovae des Typs Ia ein. (7 BE)

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1. Der Crabnebel

a)Geht man von gleichmäßiger Expansion aus, so gilt für das Alter: \[ t = \frac{6,0 \cdot 60"}{0,38" \cdot \rm{1/a}} = 9{,}5 \cdot 10^2\,\rm{a} \] Dies stimmt gut mit dem geschichtlich dokumentierten Alter von 955 Jahren überein.

b)Eine Möglichkeit besteht über den Durchmesser \(D\) und das Alter \(t\) die Geschwindigkeit zu berechnen: \[ \begin{array}{} v = \frac{\frac{1}{2} D}{t} = \frac{r \cdot \rm{arc}(\varphi)}{2 \cdot t} \Rightarrow \\\\
v = \frac{6,3 \cdot 10^3 \rm{Lj} \cdot arc(0,1^{\circ})}{2 \cdot 950 \rm{a}} = 5,7 \cdot 10^{-3} \cdot c = 5,7 \cdot 10^{-3} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \rm{m/s} = 1,7 \cdot 10^6 \rm{m/s} \end{array} \]
Man kann diese aber auch über die Winkelgeschwindigkeit von 0,38´´ pro Jahr berechnen.

c)Man berechnet zunächst die Absolute Leuchtkraft mittels Entfernungsmodul.
\[ \begin{array}{} m_{SN} - M_{SN} = 5 \cdot \log{\left( \frac{r_{SN}}{10 \rm{pc}} \right)} \Rightarrow \\\\
M_{SN} = -6 - 5 \cdot \log{\left( \frac{\frac{6,3 \cdot 10^3}{3,26} \rm{pc}}{10 \rm{pc}} \right)} = -17 \end{array} \] Aus den absoluten Helligkeiten von Supernova und Sonne berechnet man die Leuchtkraft der Supernova: \[ \frac{L_{SN}}{L_{Son}} = q^{M_{Son} - M_{SN}} \Rightarrow \frac{L_{SN}}{L_{Son}} = 2,512^{4,8 + 17} = 5 \cdot 10^8 \] Die Leuchtkraft der Supernova war etwa das 500 Milliardenfache der Sonne.

d)\[ \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} \ge m \cdot \omega^2 \cdot R \Rightarrow \frac{G \cdot \rho \frac{4}{3} \pi \cdot R^3 \cdot m}{R^2} \ge m \cdot \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^2 \cdot R \Rightarrow \rho \ge \frac{3 \pi}{G \cdot T^2} \]

e)\[{\rho _{\min }} = \frac{{3 \cdot \pi }}{{G \cdot {T^2}}} \Rightarrow {\rho _{\min }} = \frac{{3 \cdot \pi }}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{(33 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{s}})}^2}}} = 1,3 \cdot {10^{14}}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

2. Supernovae

a)Wenn bei einem massereichen Stern der Wasserstoff im Sterninneren zu Helium fusioniert ist, fehlt der Druck im Inneren und der Stern zieht sich innen zusammen, dadurch entstehen höhere Drücke und Temperaturen, so dass die Bedingung zur Fusion von Helium zu schwereren Elementen ermöglicht wird. Im Innersten fusioniert also Helium zu Kohlenstoff und eventuell weiter zu Eisen, in der Umgebung darum fusioniert der Wasserstoff zu Helium und der von innen nach außen wirkende Strahlungsdruck bläht die äußere Hülle auf zu einem roten Riesen (oder Überriesen).
Wenn diese Fusionen aufhören, kollabiert der Stern weiter unter der eigenen Gravitation so, dass die Materie auf Atomkerndichte von 1014 g/cm3 zusammengepresst wird. Ein Neutronenstern mit einem Radius von nur einigen 10 km entsteht. Die Hülle des Sterns explodiert mit ungeheuerer Wucht und großer Energieabgabe und die Gasfetzen streben vom Stern weg.

Diese Erscheinung heißt "Supernova" (Heller neuer Stern). Neuer Stern deshalb, weil plötzlich ein sehr helles Ereignis an einer Stelle auftrat, an der bisher kein oder nur ein sehr schwach sichtbarer Stern war. Die Supernova strahlt kurzzeitig so stark wie eine ganze Galaxie von 1011 Sternen. In dieser Phase herrscht im engen Raum des Sternes ein gigantisches Energie-Überangebot; es laufen deshalb auch endotherme Fusionen ab, wobei alle Elemente oberhalb des Eisens bis zum Uran aufgebaut werden können. Der zurückbleibende sehr kleine Neutronenstern übernimmt den ganzen Drehimpuls des vorher großen Sterns und rotiert wegen seines jetzt sehr kleinen Radius entsprechend schnell.

b)Nach dem Hubble'schen Gesetz gilt \( v = H_0 \cdot r \). Man muss also die Fluchtgeschwindigkeit v und die Entfernung r von weit entfernten Objekten bestimmen.
Die Fluchtgeschwindigkeit bestimmt man über die Rotverschiebung der Spektrallinien von Galaxien. Die Entfernung lässt sich aus der relativen Helligkeit von Standardkerzen bestimmen. Standardkerzen sind Objekte, deren absolute Helligkeit man gut kennt und die man an ihren Spektrallinien erkennt. Als solche Standardkerzen eignen sich insbesondere die verhältnismäßig hellen und auch häufigen Supernova Ia.