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Aufgabe

Eta Carinae (Abitur BY 2010 GK A6-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der blaue Riesenstern η Carinae im Sternbild Carina (Schiffskiel) gehört zu den rätselhaften Objekten in der Milchstraße.

Angaben zu η Carinae:
Entfernung: \(r = 7{,}5 \cdot {10^3}\,\rm{Lj}\)
Oberflächentemperatur: \(T = 3{,}8 \cdot {10^4}\rm{K}\)
derzeitige Masse: \({m_\eta } = 1{,}1 \cdot {10^2}{\rm m_{\rm{Sonne}}}\)

a)Berechnen Sie die zum Maximum der spektralen Intensitätsverteilung von η Carinae gehörende Wellenlänge \({\lambda _m}\) und geben Sie an, in welchem Spektralbereich diese liegt. (4 BE)

Bei η Carinae wurden in unregelmäßigen Abständen Veränderungen der scheinbaren Helligkeit beobachtet, die mit gewaltigen Energiefreisetzungen des Sterns in Verbindung stehen. Nach einem derartigen Ausbruch stieg die scheinbare Helligkeit von η Carinae im Jahr 1843 auf \({m_C} =  - 0{,}8\) an.

b)Zeigen Sie, dass die Leuchtkraft von η Carinae im Verlauf dieses Ausbruchs einen Wert von \(9 \cdot {10^6}\) Sonnenleuchtkräften erreichte. (7 BE)

c)In welchem Zeitraum strahlte der Stern in dieser Ausbruchsphase ebensoviel Energie ab wie die Sonne in einem Jahr? (3 BE)

Aktuelle Aufnahmen zeigen η Carinae umgeben von einem sich ausbreitenden Gas- und Staubnebel. Der scheinbare Durchmesser des Nebels beträgt etwa 18’’, seine Ausbreitungsgeschwindigkeit liegt bei \(6{,}0 \cdot {10^2}\frac{{km}}{s}\).

d)Überprüfen Sie, ob dieser Nebel auf den 1843 beobachteten Ausbruch zurückgeführt werden kann. (6 BE)

Auffällig ist auch, dass sich das Spektrum von η Carinae regelmäßig mit einer Periode von 5,52 Jahren verändert. Eine mögliche Erklärung für dieses Verhalten ist, dass es sich bei η Carinae um ein Doppelsternsystem handelt, bei dem der Begleitstern alle 5,52 Jahre hinter η Carinae verschwindet.

e)Bestimmen Sie unter den Annahmen, dass die oben angegebene Masse die Gesamtmasse des Systems ist und dass beide Sterne des Systems sich auf Kreisbahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt bewegen, den Abstand d der beiden Himmelskörper und vergleichen Sie diesen mit Größenverhältnissen im Sonnensystem. (5 BE)

Astronomen erwarten, dass η Carinae in einer Supernova enden wird. Für eine Abschätzung deren Helligkeit ist eine andere Supernova von Interesse, die in einer 60 Millionen Lichtjahre entfernten Galaxie beobachtet wurde und für deren Vorgängerstern ähnliche Bedingungen angenommen werden wie für η Carinae. Diese Supernova hatte die scheinbare Helligkeit \({m_{\rm{SN}}} = 15{,}5\).

f)Berechnen Sie unter der Annahme, dass beide Supernovae etwa die gleiche absolute Helligkeit haben, die zu erwartende scheinbare Helligkeit der Supernova von η Carinae. Wird diese Supernova mit bloßem Auge sichtbar sein? (7 BE)

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a)Nach dem Wien-Verschiebungsgesetz gilt:
\[{\lambda _m} = \frac{b}{T} \Rightarrow {\lambda _m} = \frac{{2,898 \cdot {{10}^{ - 3}}\,\rm{m} \cdot \rm{K}}}{{3{,}8 \cdot {{10}^4}\,\rm{K}}} = 7{,}6 \cdot {10^{ - 8}}\,\rm{m} = 76\,\rm{nm}\]
Diese Wellenlänge liegt im UV-Bereich.

b)Bestimmung der absoluten Helligkeit mittels Entfernungsmodul: \[{m_C} - {M_C} = 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,\rm{pc}}}} \right) \Leftrightarrow {M_C} = {m_C} - 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,\rm{pc}}}} \right)\] \[\Rightarrow {M_C} =  - 0{,}8 - 5 \cdot \lg \left( {\frac{{7{,}5 \cdot {{10}^3}\,\rm{Lj}}}{{10 \cdot 3{,}26\,\rm{Lj}}}} \right) =  - 12{,}6\]
Bestimmung des Leuchtkraftverhältnisses aus den absoluten Helligkeiten:
\[\frac{{{L_C}}}{{{L_S}}} = {q^{{M_S} - {M_C}}} \Rightarrow \frac{{{L_C}}}{{{L_S}}} = {2,512^{4,8 - ( - 12,6)}} = 9{,}1 \cdot {10^6}\]

c)Es gilt: \[t = \frac{{{L_S}}}{{{L_C}}} \cdot 1\,\rm{a} \Rightarrow t = \frac{{1\,\rm{a}}}{{9{,}1 \cdot {{10}^6}}} = \frac{{365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s}}}{{9{,}1 \cdot {{10}^6}}} = 3{,}5\,\rm{s}\]

d)Durchmesser des Nebels: \[D = r \cdot tan{\rm{ (}}\varphi ) \Rightarrow D = 7{,}5 \cdot {10^3} \cdot 9{,}46 \cdot {10^{15}}\,\rm{m} \cdot tan{\rm{ (}}18'') = 6{,}2 \cdot {10^{15}}\,\rm{m}\]
Zeit die bei der Ausbreitungsgeschwindigkeit von \(6{,}0 \cdot {10^2}\,\rm{\frac{{km}}{s}}\) vergeht, bis der Radius von \(3{,}1 \cdot {10^{12}}\,\rm{km}\) erreicht wird:
\[t = \frac{{3{,}1 \cdot {{10}^{12}}\,\rm{km}}}{{6{,}0 \cdot {{10}^2}\,\rm{\frac{{km}}{s}}}} = 5{,}2 \cdot {10^9}\,\rm{s} = 160\,\rm{a}\]
der Nebel kann also auf einen 1843 beobachteten Ausbruch zurückgeführt werden.

e)Nach dem erweiterten 3.Keplerschen Gesetz gilt: \[\frac{{{T^2}}}{{{d^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {m_{ges}}}} \Rightarrow d = \sqrt[3]{{\frac{{G \cdot {m_{ges}} \cdot {T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\]\[\Rightarrow d= \sqrt[3]{{\frac{{6{,}67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{m^3}}}{{\rm{kg} \cdot {\rm{s}^2}}} \cdot 1{,}1 \cdot {{10}^2} \cdot 2,0 \cdot {{10}^{30}}\,\rm{kg} \cdot {{(5,52 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s})}^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} = 2{,}2 \cdot {10^{12}}\,\rm{m} = 15\,\rm{AE}\] Der gegenseitige Abstand entspricht einem Bahnradius, der zwischen Saturn (9,5 AE) und Uranus (19,2AE) liegt.

f)Absolute Helligkeit der Supernova: \[{M_{SN}} = {m_{SN}} - 5 \cdot \lg \left( {\frac{{{r_{SN}}}}{{10pc}}} \right)\] \[\Rightarrow {M_{SN}} = 15{,}5 - 5 \cdot \lg \left( {\frac{{60 \cdot {{10}^6}\,\rm{Lj}}}{{32{,}6\,\rm{Lj}}}} \right) = - 15{,}8\]
Erwartete scheinbare Helligkeit: \[{m_C} = {M_{SN}} + 5 \cdot \lg \left( {\frac{{{r_C}}}{{10\,\rm{pc}}}} \right)\] \[\Rightarrow {m_C} = - 15{,}8 + 5 \cdot \lg \left( {\frac{{7{,}5 \cdot {{10}^3}\,\rm{Lj}}}{{32{,}6\,\rm{Lj}}}} \right) = - 4{,}0\]
Das ist heller als die derzeitigen Fixsterne am Himmel, so dass man sie mit bloßem Auge gut sehen kann.