a)Nach dem Wien-Verschiebungsgesetz gilt:
\[{\lambda _m} = \frac{b}{T} \Rightarrow {\lambda _m} = \frac{{2,898 \cdot {{10}^{ - 3}}\,\rm{m} \cdot \rm{K}}}{{3{,}8 \cdot {{10}^4}\,\rm{K}}} = 7{,}6 \cdot {10^{ - 8}}\,\rm{m} = 76\,\rm{nm}\]
Diese Wellenlänge liegt im UV-Bereich.
b)Bestimmung der absoluten Helligkeit mittels Entfernungsmodul: \[{m_C} - {M_C} = 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,\rm{pc}}}} \right) \Leftrightarrow {M_C} = {m_C} - 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,\rm{pc}}}} \right)\] \[\Rightarrow {M_C} = - 0{,}8 - 5 \cdot \lg \left( {\frac{{7{,}5 \cdot {{10}^3}\,\rm{Lj}}}{{10 \cdot 3{,}26\,\rm{Lj}}}} \right) = - 12{,}6\]
Bestimmung des Leuchtkraftverhältnisses aus den absoluten Helligkeiten:
\[\frac{{{L_C}}}{{{L_S}}} = {q^{{M_S} - {M_C}}} \Rightarrow \frac{{{L_C}}}{{{L_S}}} = {2,512^{4,8 - ( - 12,6)}} = 9{,}1 \cdot {10^6}\]
c)Es gilt: \[t = \frac{{{L_S}}}{{{L_C}}} \cdot 1\,\rm{a} \Rightarrow t = \frac{{1\,\rm{a}}}{{9{,}1 \cdot {{10}^6}}} = \frac{{365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s}}}{{9{,}1 \cdot {{10}^6}}} = 3{,}5\,\rm{s}\]
d)Durchmesser des Nebels: \[D = r \cdot tan{\rm{ (}}\varphi ) \Rightarrow D = 7{,}5 \cdot {10^3} \cdot 9{,}46 \cdot {10^{15}}\,\rm{m} \cdot tan{\rm{ (}}18'') = 6{,}2 \cdot {10^{15}}\,\rm{m}\]
Zeit die bei der Ausbreitungsgeschwindigkeit von \(6{,}0 \cdot {10^2}\,\rm{\frac{{km}}{s}}\) vergeht, bis der Radius von \(3{,}1 \cdot {10^{12}}\,\rm{km}\) erreicht wird:
\[t = \frac{{3{,}1 \cdot {{10}^{12}}\,\rm{km}}}{{6{,}0 \cdot {{10}^2}\,\rm{\frac{{km}}{s}}}} = 5{,}2 \cdot {10^9}\,\rm{s} = 160\,\rm{a}\]
der Nebel kann also auf einen 1843 beobachteten Ausbruch zurückgeführt werden.
e)Nach dem erweiterten 3.Keplerschen Gesetz gilt: \[\frac{{{T^2}}}{{{d^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {m_{ges}}}} \Rightarrow d = \sqrt[3]{{\frac{{G \cdot {m_{ges}} \cdot {T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\]\[\Rightarrow d= \sqrt[3]{{\frac{{6{,}67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{m^3}}}{{\rm{kg} \cdot {\rm{s}^2}}} \cdot 1{,}1 \cdot {{10}^2} \cdot 2,0 \cdot {{10}^{30}}\,\rm{kg} \cdot {{(5,52 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s})}^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} = 2{,}2 \cdot {10^{12}}\,\rm{m} = 15\,\rm{AE}\] Der gegenseitige Abstand entspricht einem Bahnradius, der zwischen Saturn (9,5 AE) und Uranus (19,2AE) liegt.
f)Absolute Helligkeit der Supernova: \[{M_{SN}} = {m_{SN}} - 5 \cdot \lg \left( {\frac{{{r_{SN}}}}{{10pc}}} \right)\] \[\Rightarrow {M_{SN}} = 15{,}5 - 5 \cdot \lg \left( {\frac{{60 \cdot {{10}^6}\,\rm{Lj}}}{{32{,}6\,\rm{Lj}}}} \right) = - 15{,}8\]
Erwartete scheinbare Helligkeit: \[{m_C} = {M_{SN}} + 5 \cdot \lg \left( {\frac{{{r_C}}}{{10\,\rm{pc}}}} \right)\] \[\Rightarrow {m_C} = - 15{,}8 + 5 \cdot \lg \left( {\frac{{7{,}5 \cdot {{10}^3}\,\rm{Lj}}}{{32{,}6\,\rm{Lj}}}} \right) = - 4{,}0\]
Das ist heller als die derzeitigen Fixsterne am Himmel, so dass man sie mit bloßem Auge gut sehen kann.
