In der Regel hat eine Gitarre sechs Saiten, die zwischen Steg und Sattel fest eingespannt sind. Die zwischen diesen Einspannungen frei schwingenden Saiten senden Töne mit den folgenden Frequenzen aus:
Ton
E
A
d
g
h
e'
Frequenz \({f_0}\;{\rm{in}}\;{\rm{Hz}}\)
\(82,4\)
\(110\)
\(148,6\)
\(196\)
\(246,9\)
\(329,6\)
a)Erläutern Sie, durch welche Maßnahmen man den Ton, den eine schwingende Saite fester Länge abstrahlt, beeinflussen kann.
b)Im Allgemeinen klingt jede Saite eine Quarte höher als die benachbarte darüber liegende Saite. Nur die h-Saite zeigt gegenüber der g-Saite ein anders Intervall.
Bestätigen Sie die aufgestellte Behauptung rechnerisch und geben Sie an, welches Ton-Intervall zwischen der g- und der h-Saite besteht.
c)Drückt man eine Saite auf den 12. Bund, so wird ein Ton abgestrahlt, der eine Oktave über dem Grundton der frei schwingenden Saite liegt.
Berechnen Sie, welche Entfernung der 12. Bund vom Sattel haben muss, wenn die Länge der frei schwingenden Saite \(l = 0,650{\rm{m}}\) beträgt.
Die wohltemperierte Stimmung
Das Frequenzintervall zwischen der frei schwingenden Saite und der am 12. Bund gedrückten Saite soll so aufgeteilt werden, dass die "wohltemperierte Stimmung" entsteht. Dies bedeutet, dass die Oktave in 12 Halbtonschritte unterteilt wird, so dass die Frequenz eines Halbtons stets um einen festen Faktor \(q\) höher ist als die Frequenz des vorausgegangenen Tons. Dies bedeutet z.B. \[{f_1} = q \cdot {f_0}\;;\;{f_2} = q \cdot {f_1} = {q^2} \cdot {f_0}\;;\;{f_3} = q \cdot {f_2} = {q^3} \cdot {f_0}\;;\;...\;;\;{f_{12}} = q \cdot {f_{11}} = {q^{12}} \cdot {f_0}\quad(1)\] Da der Ton \({f_{12}}\) den um eine Oktave höheren Grundton \(f_0\) darstellt, gilt außerdem \[{f_{12}} = 2 \cdot {f_0}\quad(2)\] Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so ergibt sich für \(q\) \[{q^{12}} \cdot {f_0} = 2 \cdot {f_0} \Leftrightarrow {q^{12}} = 2 \Rightarrow q = \sqrt[{12}]{2}\]
d)Füllen Sie die folgende Tabelle für die E- und die A-Saite aus (wohl temperierte Stimmung):
\(f_0\)
\(f_1\)
\(f_2\)
\(f_3\)
\(f_4\)
\(f_5\)
\(f_6\)
\(f_7\)
\(f_8\)
\(f_9\)
\(f_{10}\)
\(f_{11}\)
\(f_{12} = 2 \cdot f\)
E-Saite
\(82,4\rm{Hz}\)
\(164,8\rm{Hz}\)
E
F
Fis
G
Gis
A
Ais
H
c
cis
d
dis
e
A-Saite
\(110\rm{Hz}\)
\(220\rm{Hz}\)
A
Ais
H
c
cis
d
dis
e
f
fis
g
gis
a
Bund
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
e)Es soll davon ausgegangen werden, dass die E-Saite der Gitarre richtig gestimmt ist. Nun soll auch die noch verstimmte A-Saite gestimmt werden.
Bestimmen Sie, bei welchem Bund die E-Saite gedrückt werden muss, damit sie beim Anzupfen den Ton A als Referenzton ergibt.
f)Erläutern Sie, wie man nun vorgehen muss, damit die A-Saite richtig gestimmt ist.
g)Bei der Stimmung der Saite A nach Teilaufgabe f) kann das Phänomen "Schwebung" für den Gitarren-Anfänger eine gute Hilfe sein.
Erläutern Sie diese Aussage etwas näher.
h)Wie Sie der Abbildung der Gitarre entnehmen können, wird der Abstand zwischen den Bünden mit zunehmender Bundzahl kleiner.
Erhärten Sie diese Aussage, indem Sie mit den bisher bekannten Daten den Abstand \({x_{01}}\) zwischen dem nullten und dem ersten Bund und den Abstand \({x_{12}}\) zwischen dem 1. und dem 2. Bund berechnen.
a)Die Tonhöhe einer Gitarrensaite fester Länge wird in erster Linie von zwei Faktoren bestimmt:
• Von der Dicke der Saite (je dicker die Saite ist, desto tiefer der Ton). Hinweis: Die entscheidende Größe ist eigentlich die lineare Dichte einer Saite (Dichte·Querschnittsfläche), welche aber mit der Saitendicke verknüpft ist.
• Von der Spannung der Saite (je höher die Spannung der Saite ist, desto höher der Ton); die Spannung der Saite kann durch die Wirbel verändert werden. Hinweis: Die entscheidende Größe ist die Kraft mit welcher die Saite gespannt wird. Dies kann man jedoch mit dem etwas unscharfen Begriff "Spannung" umschreiben.
Hinweis: Ein ganz entscheidender Faktor für die Tonhöhe ist natürlich auch die Saitelänge: Je länger eine Saite (bei gleicher Dicke und Spannung) ist, desto tiefer ist der Ton, den sie aussendet. Bei der Frage war jedoch von gleichen Saitenlängen auszugehen.
c) Der Ton, welcher eine Oktave höher liegt als der Grundton hat die doppelte Frequenz. Dies erreicht man, wenn man die Saite in ihrer Mitte auf einen Bund drückt. Der 12. Bund muss also vom Sattel die Entfernung \(\frac{l}{2} = 0,325{\rm{m}}\) haben.
d)Alle Frequenzen in \({\rm{Hz}}\)
\(f_0\)
\(f_1\)
\(f_2\)
\(f_3\)
\(f_4\)
\(f_5\)
\(f_6\)
\(f_7\)
\(f_8\)
\(f_9\)
\(f_{10}\)
\(f_{11}\)
\(f_{12}\)
E
\(82,4\)
\(87,3\)
\(92,5\)
\(98,0\)
\(103,8\)
\(110\)
\(116,5\)
\(123,5\)
\(130,8\)
\(138,6\)
\(146,8\)
\(155,6\)
\(164,8\)
E
F
Fis
G
Gis
A
Ais
H
c
cis
d
dis
e
A
\(110\)
\(116,5\)
\(123,5\)
\(130,8\)
\(138,6\)
\(146,8\)
\(155,6\)
\(164,8\)
\(174,6\)
\(185\)
\(196\)
\(207,7\)
\(220\)
A
Ais
H
c
cis
d
dis
e
f
fis
g
gis
a
B.
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
e)Drückt man die richtig gestimmte E-Saite auf den 5. Bund, so liefert die angezupfte Saite den Ton A.
f)Man drückt die bereits richtig gestimmte E-Saite auf den 5. Bund und zupft sie an. Sie gibt dann den richtigen Ton A. Gleichzeitig zupft man die noch verstimmte A-Saite und verändert die Spannung mit dem entsprechenden Wirbel so lange bis ihr Ton mit dem der im 5. Bund gedrückten E-Saite übereinstimmt.
Ergänzung: Zum Stimmen der nächsten Saite (in unserem Fall der d-Saite) drückt man die gestimmte A-Saite am 5. Bund und erzeugt damit den Ton d . . . .
g)Liegt der Ton der noch verstimmten A-Saite schon nahe beim richtigen A (welcher durch die im 5. Bund gedrückten E-Saite erzeugt wird), so kommt es zu einer Schwebung. Nun muss man die Spannung der A-Saite so verändern, dass die Schwebungsfrequenz immer kleiner wird. Ist schließlich die Schwebungsfrequenz Null, so stimmen die beiden Töne überein.
h) Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) auf der E-Saite aus den Daten der frei schwingenden Saite mit \({f_0} = 82,4{\rm{Hz}}\):\[{l_0} = \frac{{{\lambda _0}}}{2} = \frac{{\frac{c}{{{f_0}}}}}{2} \Leftrightarrow c = 2 \cdot {l_0} \cdot {f_0} \Rightarrow c = 2 \cdot 0,650{\rm{m}} \cdot 82,4\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} \approx 107\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Bestimmung der Länge \({l_1}\) zwischen dem 1. Bund und dem Steg:\[{l_1} = \frac{{{\lambda _1}}}{2} = \frac{{\frac{c}{{{f_1}}}}}{2} \Leftrightarrow {l_1} = \frac{c}{{2 \cdot {f_1}}} \Rightarrow {l_1} = \frac{{107\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2 \cdot 87,3\frac{1}{{\rm{s}}}}} \approx 0,613{\rm{m}}\]Aus diesen Daten ergibt sich für den Abstand des 1. Bundes vom Sattel: \({x_{01}} = 0,650{\rm{m}} - 0,613{\rm{m}} = 0,037{\rm{m}}\)
Bestimmung der Länge \({l_2}\) zwischen dem 2. Bund und dem Steg:\[{l_2} = \frac{{{\lambda _2}}}{2} = \frac{{\frac{c}{{{f_2}}}}}{2} \Leftrightarrow {l_2} = \frac{c}{{2 \cdot {f_2}}} \Rightarrow {l_2} = \frac{{107\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2 \cdot 92,5\frac{1}{{\rm{s}}}}} \approx 0,578{\rm{m}}\]Aus diesen Daten ergibt sich für den Abstand des 1. Bundes vom 2. Bund: \({x_{12}} = 0,613{\rm{m}} - 0,578{\rm{m}} = 0,035{\rm{m}}\)
