Herr Schlaumeier hat \(500\rm{g}\) Suppe, die hauptsächlich aus Wasser besteht, eingefroren. Die Temperatur im Kühlfach beträgt \( - 5^\circ {\rm{C}}\). Um nun schnell in den Genuss der guten Speise zu kommen, stellt Herr Schlaumeier einen Topf mit der gefrorenen Suppe auf die Kochstelle, die eine Wärmeleistung von \(1\rm{kW }\)abgibt.
Benötigte Größen:
Wärmekapazität von Eis: \(c_{\rm{Eis}}=2{,}1\,\rm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}\)
Schmelzwärme von Eis: \(s_{\rm{Eis}}=335\,\rm{\frac{kJ}{kg}}\)
Wärmekapazität von Wasser: \(c_{\rm{Wasser}}=4{,}2\,\rm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}\)
a)
Berechne, wie lange es ungefähr dauert, bis die Suppe kocht.
b)
Berechne, wie lange das Kochen der Suppe gedauert hätte, wenn Herr Schlaumeier die Suppe frühzeitig aus dem Gefrierschrank genommen und diese in der Küche aufgetaut und auf Zimmertemperatur gebracht hätte.
Die "eisige", feste Suppe muss zunächst auf \(0^\circ {\rm{C}}\) erwärmt werden. Hierzu ist die Energie \(\Delta E_1\) nötig:
\[\Delta E_1 = {c_{{\rm{Eis}}}} \cdot m \cdot \Delta \vartheta \Rightarrow \Delta E_1 = 2{,}1\,\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 0{,}500{\rm{kg}} \cdot \left( {0^\circ {\rm{C}} - \left( { - 5^\circ } \right)} \right) = 5{,}3\,{\rm{kJ}}\]
Die "eisige", immer noch feste Suppe von \(0^\circ {\rm{C}}\) muss in flüssige Suppe von \(0^\circ {\rm{C}}\) übergeführt werden. Hierzu ist die Energie \(\Delta E_2\) nötig:
\[\Delta {E_2} = {s_{{\rm{Eis}}}} \cdot m \Rightarrow \Delta {E_2} = 335\,\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 0{,}500\,{\rm{kg}} = 170\,{\rm{kJ}}\]
Um die nun flüssige Suppe von \(0^\circ {\rm{C}}\) zum Kochen zu bringen (es wird von der Siedetemperatur \(100^\circ {\rm{C}}\) ausgegangen) ist die Energie \(\Delta E_3\) nötig:
\[\Delta {E_3} = {c_{{\rm{Wasser}}}} \cdot m \cdot \left( {100^\circ {\rm{C}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right) \Rightarrow \Delta {E_3} = 4{,}2\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 0{,}500\,{\rm{kg}} \cdot 100^\circ {\rm{C}} = 210\,{\rm{kJ}}\]
Insgesamt ist also die Energie
\[\Delta E = \Delta {E_1} + \Delta {E_2} + \Delta {E_3} = 5{,}3\,{\rm{kJ}} + 170\,{\rm{kJ}}+210\,{\rm{kJ}}=390\,{\rm{kJ}}\]
aufzubringen. Zur Berechnung der hierfür notwendigen Zeitdauer muss man sich an den Zusammenhang zwischen Energie und Leistung erinnern:
\[P = \frac{{\Delta E}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{\Delta E}}{P} \Rightarrow \Delta t = \frac{{390\,{\rm{kJ}}}}{{1\,{\rm{kW}}}} = 390\,{\rm{s}} \approx 6{\textstyle{1 \over 2}}{\rm{min}}\]
b)
Hätte Herr Schlaumeier vorausgedacht und frühzeitig die Suppe aufgetaut, so hätte er sie nur von ca. \(20^\circ {\rm{C}}\) auf \(100^\circ {\rm{C}}\) erwärmen müssen. Hierfür ist eine deutlich kürzere Zeit notwendig, die mit einer Energieersparnis verbunden ist:
\[\Delta t' = \frac{{{c_{{\rm{Wasser}}}} \cdot m \cdot \left( {100^\circ {\rm{C}} - 20^\circ {\rm{C}}} \right)}}{P} \Rightarrow \Delta t' = \frac{{4{,}2\,\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 0{,}500\,{\rm{kg}} \cdot 80^\circ {\rm{C}}}}{{1{\rm{kW}}}} = 170\,{\rm{s}} \approx 3\,{\rm{min}}\]
