Erster Einblick

Relativitätstheorie

Erster Einblick

  • Was versteht man unter einem Inertialsystem?
  • Ist Licht im ganzen Universum immer gleich schnell?
  • Warum gehen bewegte Uhren langsamer …
  • … und warum sind bewegte Maßstäbe kürzer?

Newton schuf mit seinen drei Gesetzen ein sehr leistungsfähiges Gebäude, mit dem nahezu alle "mechanischen Vorgänge" zu seiner Zeit verstanden werden konnten. Dabei ging er von einem absoluten Raum aus: "Nach Ansicht Newtons war der Raum das Sensorium Dei - das Sinnesorgan Gottes. Der Raum existierte unvergänglich und ewig, allen Körpern vorausgesetzt in majestätischer, gottgleicher Ruhe." (nach Sexl: Was die Welt zusammenhält, DVA-Verlag). Natürlich war Newton klar, dass Ortsangaben jeweils auf ein gewähltes Bezugssystem abgestellt sein müssen. Aber alle Systeme befanden sich in dem absoluten Raum. Völlig selbstverständlich war in dieser Mechanik, dass die Länge eines Meterstabs in allen Bezugssystemen gleich sein muss.

Auch die Zeit war bis vor 1905 eine absolute Größe. Die Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen hing nicht davon ab, von welchem Bezugssystem aus die beiden Ereignisse betrachtet werden.

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde die Lichtgeschwindigkeit sehr genau bei verschiedenen Randbedingungen untersucht. Dabei stellten Michelson und Moreley fest, dass die Lichtgeschwindigkeit in Luft bzw. im Vakuum unabhängig vom gewählten Bezugssystem ist. Dies hatte zur Folge, dass bisher sicher geglaubte Vorstellungen über physikalische Gesetzmäßigkeiten (z.B. die Geschwindigkeitsaddition) ins Wanken gerieten.

Das Experiment von Michelson und Morley findet man auf folgender Seite. Im Jahre 1905 veröffentlichte Albert Einstein seine Spezielle Relativitätstheorie (die später noch durch die Allgemeine Relativitätstheorie erweitert wurde). Aus dieser Theorie folgt, dass es keinen absoluten Raum und keine absolute Zeit gibt, sondern Raum und Zeit relativ sind. Die aus seinen grundlegenden Postulaten abgeleitete relativistische Mechanik unterscheidet sich bei hohen Geschwindigkeiten deutlich von der newtonschen Mechanik. Im Grenzfall sehr kleiner Geschwindigkeiten geht die relativistische Mechanik jedoch in die newtonsche Mechanik über.

Auf den folgenden Grundwissensseiten sind ein paar wichtige Konsequenzen aus den einsteinschen Annahmen angesprochen werden. Eine genauere Herleitungen findet man im Kapitel spezielle Relativitätstheorie.

Im Internet gibt es sehr viele Informationen über die Relativitätstheorie, die sich an unterschiedlich vorgebildetes Publikum wendet. Auf die relativ leicht verständliche Quelle http://www.cell-action.com/einstein/einstein_de.html möchten wir hinweisen.

Das Relativitätsprinzip von GALILEI

Wie so oft verpackt Galilei physikalische Inhalte in einen Dialog zwischen dem Lehrer (Salvati) und seinem Schüler (Sagredo).


SALVATI

Schließt Euch in Gesellschaft eines Freundes in einen möglichst großen Raum unter dem Deck eines großen Schiffes ein. Verschafft Euch dort Mücken, Schmetterlinge und ähnliches fliegendes Getier; sorgt auch für ein Gefäß mit Wasser und kleinen Fischen darin; hängt ferner oben einen kleinen Eimer auf, welcher tropfenweise Wasser in ein zweites enghalsiges darunter gestelltes Gefäß träufeln lässt. Beobachtet nun sorgfältig, solange das Schiff stille steht, wie die fliegenden Tierchen mit der nämlichen Geschwindigkeit nach allen Seiten des Zimmers fliegen. Man wird sehen, wie die Fische ohne irgend welchen Unterschied nach allen Richtungen schwimmen; die fallenden Tropfen werden alle in das untergestellte Gefäß fließen. Wenn Ihr Euerem Gefährten einen Gegenstand zuwerft, so braucht Ihr nicht kräftiger nach der einen als nach der anderen Richtung zu werfen, vorausgesetzt, dass es sich um gleiche Entfernungen handelt. Wenn Ihr, wie man sagt, mit gleichen Füßen einen Sprung macht, werdet Ihr nach jeder Richtung gleich weit gelangen. Achtet darauf, Euch aller dieser Dinge sorgfältig zu vergewissern, wiewohl kein Zweifel obwaltet, dass bei ruhendem Schiffe alles sich so verhält. Nun lasst das Schiff mit jeder beliebigen Geschwindigkeit sich bewegen: Ihr werdet — wenn nur die Bewegung gleichförmig ist und nicht hier - und dorthin schwankend - bei allen genannten Erscheinungen nicht die geringste Veränderung eintreten sehen. Aus keiner derselben werdet Ihr entnehmen können, ob das Schiff fährt oder stille steht. [...] Wenn Ihr Euerem Gefährten einen Gegenstand zuwerft, so braucht Ihr nicht mit größerer Kraft zu werfen, damit er ankomme, ob nun der Freund sich im Vorderteile und Ihr Euch im Hinterteile befindet oder ob Ihr umgekehrt steht. Die Tropfen werden wie zuvor in das untere Gefäß fallen, kein einziger wird nach dem Hinterteile zu fallen, obgleich das Schiff, während der Tropfen in der Luft ist, viele Spannen zurücklegt. [...] Die Ursache dieser Übereinstimmung aller Erscheinungen liegt darin, dass die Bewegung des Schiffes allen darin enthaltenen Dingen, auch der Luft, gemeinsam zukommt. Darum sagte ich auch, man solle sich unter Deck begeben; denn oben in der freien Luft, die den Lauf des Schiffes nicht begleitet, würden sich mehr oder weniger deutliche Unterschiede bei einigen der genannten Erscheinungen zeigen. So würde unzweifelhaft der Rauch ebenso weit zurückbleiben wie die Luft selbst. [...]

SAGREDO

Obgleich es mir zur See niemals in den Sinn gekommen ist, die genannten Beobachtungen eigens zu diesem Zwecke anzustellen, so bin ich doch mehr als gewiss, dass sie zu dem angeführten Ergebnis führen. So z. B. weiß ich noch, dass ich mich in meiner Kajüte hundertmal gefragt habe, ob das Schiff fahre oder stille stehe; und manchmal habe ich, in Gedanken vertieft, geglaubt, es gehe in der einen Richtung, während es sich nach der entgegengesetzten bewegte. Darum bin ich nunmehr völlig zufrieden gestellt und fest überzeugt von der Bedeutungslosigkeit aller Versuche, die Geschwindigkeit oder Richtung der Bewegung eines Schiffes in seinem Inneren festzustellen, solange sich das Schiff geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Ähnliche Beobachtungen wie sie Galilei für das Innere eines Schiffes beschrieb, haben Sie vielleicht schon selbst in einem im Bahnhof stehenden Zug machen können. Steht neben ihrem Zug ein zweiter Zug und fährt einer der beiden Züge sachte an, so weiß man kurzzeitig nicht, ob der andere oder der eigene Zug fährt.

Formulierung des Relativitätsprinzips zur Zeit Galileis: Es gibt keine Möglichkeit einen absoluten Bewegungszustand eines Körpers festzustellen. In einem absoluten Sinne kann man also nicht sagen, das eine Bezugssystem ruht und das andere bewegt sich. Feststellen lässt sich nur die relative Bewegung der beiden Systeme zueinander.

Ruhe und Bewegung sind keine absoluten Begriffe.

Nachdem Newton etwa ein halbes Jahrhundert später seine Bewegungsgesetze formuliert hatte, in denen er den Zusammenhang von Bewegungen mit Kräften beschrieb, formulierte man das Relativitätsprinzip etwas um:

Alle Inertialsysteme sind bezüglich der physikalischen Gesetze (zur Zeit Newtons waren dies vornehmlich Gesetze zur Mechanik) gleichberechtigt.


Ausführlich ist damit gemeint: Die gleiche Kraft erzeugt in jedem Interitialsystem am gleichen Körper die gleiche Beschleunigung. Wirkt auf ein Objekt keine resultierende Kraft, so, bewegt sich das Objekt in allen Inertialsystem geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit.

Die folgende Animation soll dies veranschaulichen:

Die Bahnkurve des Papierkegels ist im System von Schlaumeier eine Parabel, in System von Max eine vertikale Gerade. Auch die Geschwindigkeit des Kegels ist in beiden System verschieden. Die Bewegung des Kegels wird aber in beiden Systemen mit dem gleichen physikalischen Gesetz (Newton II) begründet und auch die auftretende Beschleunigung ist in beiden Inertialsystemen gleich.

Zum Ende des 19. Jahrhunderts konnten die elektromagnetischen Erscheinungen und die Optik mit kompakten Gleichungen (Maxwell-Gleichungen) beschrieben werden. Einsteins Relativitätsprinzip bezieht sich nun auf alle Gebiete der Physik und lautet:

Alle Inertialsysteme sind bezüglich aller physikalischen Gesetze gleichberechtigt.

Das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Michelson und Morley untersuchten im Jahre 1881 mit einer Apparatur (welche Sie auf dieser Stufe noch nicht verstehen können) den Einfluss der Erdbewegung auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Lichtsignalen.

Berechne, wie viel Prozent der Vakuumlichtgeschwindigkeit die Bahngeschwindigkeit der Erde beim Umlauf um die Sonne beträgt.

In ihrem Experiment ließen Michelson und Morley Licht einmal quer und einmal in Richtung der Erdbewegung laufen. Wenn die Bewegung der Lichtquelle auf die Lichtgeschwindigkeit einen Einfluss haben sollte, so müssten sich für die Laufzeiten der Signale zwischen dem Strahlteiler und Spiegel 1 bzw. dem Strahlerteiler und Spiegel 2 (gleiche Streckenlänge vorausgesetzt) unterscheiden. Da dies nicht der Fall war, schloss Einstein:

Die Vakuumlichtgeschwindigkeit c ist unabhängig von der Bewegung der Quelle und vom Inertialsystem, in dem sie gemessen wird.

Hinweis

Die Darstellung der Versuchsanordnung ist extrem vereinfacht. Licht (symbolisiert durch blaue Kügelchen) kommt aus der Quelle und wird durch den halbdurchlässigen Strahlteiler aufgeteilt.

  • Ein Teil des Lichts läuft zu Spiegel 1, wird dort reflektiert und gelangt durch den Strahlteiler zum Detektor.

  • Der andere Teil des Lichts gelangt durch den Strahlteiler zu Spiegel 2, wird dort reflektiert und gelangt durch Reflexion am Strahlteiler ebenfalls zum Detektor.

Hinweis

Das Experiment von Michelson und Morley geht weit über den hier zu behandelnden Stoff hinaus. Wenn Sie sich aber trotzdem für diese Thematik interessieren, empfehlen wir ihnen die folgende Seite.

Hinweise zur Animation:

  • Die klassische Geschwindigkeitsaddition (sie entspricht unserem gesunden Menschenverstand) geht auf Galilei zurück. Fährt der Zug z.B. mit v = 40 km/h und läuft Max auf dem Waggon mit u' = 8 km/h, so stellt Herr Schlaumeier für Max eine Geschwindigkeit u = 48 km/h zurück.
Diese Art der Geschwindigkeitsaddition - so zeigt die spezielle Relativitätstheorie1 - ist falsch. Allerdings würde der dabei gemachte Fehler erst bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ins Gewicht fallen (d.h. für niedrige Geschwindigkeiten kann nach wie vor die Geschwindigkeitsaddition von Galilei benutzt werden).
  • Insbesondere verlangt das Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, dass in beiden Bezugssystemen für Licht die gleiche Geschwindigkeit c = 299 792 km/s gemessen wird, auch wenn der Zug dessen Scheinwerfer Licht aussenden nahe der Lichtgeschwindigkeit fahren würde. Diese zunächst nur mit Skepsis aufgenommene, von Einstein als Folge des Michelson-Morley-Versuchs postulierte Tatsache ist inzwischen durch viele Experimente bestätigt worden.

1Die exakte, relativistisch korrekt Formel für die Geschwindigkeitsaddition würde lauten:

\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u'{\kern 1pt} \, \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]

Die folgende Vorgehensweise geht auf die Anregungen von Franz Embacher von der Uni Wien:  zurück. Mit einfachen Animationen können Effekte wie Längenkontraktion, Zeitdilatation und Relativität der Gleichzeitigkeit sehr anschaulich demonstriert werden.

1. Einführung


Im Zentrum einer kreisförmigen Anordnung befindet sich eine Quelle (rot).

Ereignis "Senden"

Die Quelle sendet gleichzeitig vier Photonen ("Lichtteilchen", die sich mit der Geschwindigkeit c = 3,0·108 m/s bewegen) nach oben, unten, links und rechts aus. Die Photonen sind durch blaue Kugeln symbolisiert. Die Photonen werden beim Auftreffen an die Kreislinie von dort angebrachten Spiegeln reflektiert.

Ereignis "Empfangen"

Nach der Reflexion laufen die Photonen wieder zur Quelle zurück und treffen zur gleichen Zeit dort ein. Dieses Ereignis wird durch das Ticken einer Uhr verdeutlicht.

Mit Hilfe einer eingeblendeten Uhrzeit (1,00 ns = 1,00·10-9 s) kann der zeitliche Verlauf der Vorgänge in dem System, das wir als Ruhesystem der Photonenquelle bezeichnen, verfolgt werden.

Die Vorgänge in der Animation sind verlangsamt dargestellt. Prüfe durch Rechnung nach (Daten sind der Animation zu entnehmen), ob die Photonengeschwindigkeit in der Animation der Lichtgeschwindigkeit c entspricht.

2. Was würde Galilei sagen?

Nun soll das oben vorgestellte System von einer Beobachterin (Tante Emma) betrachtet, die sich mit der konstanten Geschwindigkeit v gegenüber dem Ruhesystem nach links bewegt.

In der folgenden Animation ist links nochmals das Ruhesystem der Photonen dargestellt. Rechts wird das System aus der Sicht von Tante Emma dargestellt (von Tante Emma aus gesehen bewegt sich das System nach rechts). Dabei wird von der klassischen Vorstellung der Geschwindigkeitsaddition ausgegangen, wie sie Galilei eingeführt hat.

  • Damit im System von Tante Emma die Ereignisse "Senden" (alle vier Photonen werden gleichzeitig ausgesandt) und "Empfangen" (alle vier Photonen kommen gleichzeitig zurück zur Quelle) auftreten, müssen für die Photonen unterschiedliche Geschwindigkeiten angenommen werden.
  • Je nach Bewegungsrichtung haben die Photonen bei dieser Betrachtung "Überlichtgeschwindigkeit" oder auch "Unterlichtgeschwindigkeit", was einen Widerspruch zu Einsteins Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit darstellt.

Bestimme mit Hilfe der Daten aus der Animation die Relativgeschwindigkeit v zwischen dem Ruhesystem der Photonenquelle und Tante Emmas System.

3. Berücksichtigung des Postulates c = const. in allen Inertialsystemen

Hinweis: Der lila Kreis stellt den geometrischen Ort dar, auf dem sich die Photonen bewegen, welche zum Zeitpunkt Null von der bewegten Quelle ausgesandt wurden.

Der Versuch von Michelson und Morley zeigt, dass Licht in allen Inertialsystemen die gleiche Geschwindigkeit c besitzt. Dies wird in der obigen Animation berücksichtigt.
Als Konsequenz dieser Betrachtungsweise erkennt man aber, dass das Ereignis "Empfang" (d.h. alle vier Photonen kehren gleichzeitig zur bewegten Quelle zurück) nicht mehr auftritt (Widerspruch zum Relativitätsprinzip).

Außerdem kann man der Animation entnehmen, dass die Zeitspanne Δt, die Tante Emma beim bewegten System zwischen der Emission des nach oben laufenden Photons und der Reflexion am oberen Spiegel feststellt, größer ist als die entsprechende Zeit Δt' im Ruhesystem. Im gewählten Beispiel gilt:

Δt ≈ 0,63 ns und Δt' = 0,50 ns

Dies liegt daran, dass das im bewegten System nach schräg oben laufende Photon eine längere Strecke zum oberen Spiegel durchlaufen muss als das entsprechende Photon im Ruhesystem.

Aus dieser Betrachtung erkennt man schon ohne große Rechnung, dass die Zeit im Ruhesystem der Photonenquelle, das gegenüber Tante Emmas System bewegt ist, langsamer verläuft als für Tante Emma. Man bezeichnet diese Erscheinung die unserem gesunden Menschenverstand1 zu widersprechen scheint als Zeitdilatation. Prof. Sexl drückte dies so aus: "Zeit ist Privatsache".

Wenn du an der Herleitung einer quantitativen Beziehung zwischen Δt' und Δt interessiert bist, so kannst du dir diese Herleitung hier einblenden.

gehen Sie zur Seite: "Zeitdilatation quantitativ"

1 Einstein soll gesagt haben: Der gesunde Menschenverstand ist die Summe aller unserer Vorurteile.

4. Deutung des Gedankenexperimentes mit Hilfe von Einstein

Hinweis: Der lila Kreis stellt den geometrischen Ort dar, auf dem sich die Photonen bewegen, welche zum Zeitpunkt Null von der bewegten Quelle ausgesandt wurden.

Bei "3. Berücksichtigung des Postulates c = const. in allen Inertialsystemen" kamen die horizontal laufenden Photonen im Vergleich zu den vertikal laufenden Photonen stets verspätet im Zentrum an, damit das Ereignis "Empfang" eintreten konnte. Einstein löste diesen Widerspruch durch die Annahme auf, dass Längen in Bewegungsrichtung verkürzt sind, d.h. die Längen bewegter Gegenstände werden vom System Tante Emmas kürzer gemessen als im Ruhesystem (Längenkontraktion). Für die Animation bedeutet dies, dass die Linie an der die Photonen reflektiert werden, kein Kreis sondern eine Ellipse ist.

Mit dieser Verkürzung der Längen in Bewegungsrichtung werden die in den Animationen 2 und 3 beobachteten Widersprüche beseitigt. Die Photonen gelangen nach Reflexion an den Wänden der Ellipse gleichzeitig wieder zur Quelle, d.h. das Ereignis "Empfang" ist wieder festzustellen und das unter Berücksichtigung der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.
Allerdings ist der Zeitabstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen "Empfang" im bewegten System ein anderer als im Ruhesystem (dies soll ihnen das Klicken im jeweiligen System verdeutlichen).

  • Zeitdauer zwischen zwei benachbarten Ereignissen "Empfang" bei dem dargestellten Beispiel:
    • Ruhesystem der Photonenquelle: 1 ns
    • System von Tante Emma: 1,25 ns

Diese führt zu der Aussage:

Eine bewegte Uhr geht langsamer als eine gleichartige im Ruhesystem! (Zeitdilatation)

  • Darüber hinaus erkennt man in der Animation auch noch:
    Die Reflexion der horizontal laufenden Photonen an der Wand geschieht im Ruhesystem der Photonenquelle gleichzeitig, im Bezugssystem von Tante Emma finden diese Reflexionen zu verschiedenen Zeiten statt. Gleichzeitigkeit hängt also davon ab, von welchem Bezugssystem aus die Beobachtung erfolgt: Man spricht von der Relativität der Gleichzeitigkeit.
  • Damit die beiden Einsteinschen Postulate zur speziellen Relativitätstheorie erfüllt werden konnten, musste im System von Tante Emma der Kreis zu einer Ellipse "zusammengedrückt" werden. Der Verkürzungsfaktor in Querrichtung beträgt allgemein:

\[\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \]

Denkt man sich in Querrichtung in das Ruhesystem und das bewegte System einen Maßstab gelegt, so gilt zwischen deren Längen die folgende Beziehung:

Ein bewegter Maßstab ist in Bewegungsrichtung kürzer als im Ruhesystem! (Längenkontraktion)

Zwischen \({l_b}\) und \({l_r}\) gilt die Beziehung
\[{l_b} = {l_r} \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \]

 


 

In der speziellen Relativitätstheorie von EINSTEIN wird stets von Inertialsystemen ausgegangen. Es soll knapp dargestellt werden, was man darunter versteht.

Unter einem Inertialsystem (lateinisch iners = untätig, träge) versteht man in der Physik ein Koordinatensystem, in dem sich kräftefreie Körper geradlinig, gleichförmig bewegen. In einem Inertialsystem gilt also der Trägheitssatz (1. Gesetz von NEWTON):

Lex. I.
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. 

1. Gesetz:
Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.

In einem Inertialsystem können auch Beschleunigungen von Körpern auftreten. Hier ist dann der Beschleuigungsvektor in Richtung der resultierenden Kraft und der Betrag der Beschleunigung proportional zum Betrag der resultierenden Kraft (d.h. es gilt das 2. Gesetz von Newton).

Inertialsysteme zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich gegenüber dem durch die Fixsterne aufgespannten Himmel nicht drehen, sondern sich nur geradlinig, gleichförmig gegenüber den Fixsternen bewegen. Ein Koordinatensystem, das fest mit der rotierenden Erde verbunden ist, stellt somit im strengen Sinne kein Inertialsystem dar.

Alle Systeme, die sich gleichförmig gegenüber einem Inertialsystem bewegen, sind ebenfalls Inertialsysteme.

Gib an, welche der in der Animation dargestellten Systeme keine Inertialsysteme darstellen.

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