Erster Einblick

Relativitätstheorie

Erster Einblick

  • Was versteht man unter einem Inertialsystem?
  • Ist Licht im ganzen Universum immer gleich schnell?
  • Warum gehen bewegte Uhren langsamer …
  • … und warum sind bewegte Maßstäbe kürzer?
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1 Zwei Lichtuhren, von denen die eine relativ zum Beobachter ruht und die andere sich relativ zum Beobachter bewegt. Verändert werden kann die Relativgeschwindigkeit, angezeigt werden kann der Lichtweg der bewegten Uhr aus Sicht des ruhenden Beobachters

Der Abstand von oberer zu unterer Platte in beiden Lichtuhren beträgt \(15\,\rm{cm}\), in einer Periode legt demnach das Licht die Strecke \(30\,\rm{cm} = 0{,}30\,\rm{m}\) zurück, so dass die Periodenlänge im Ruhesystem der jeweiligen Lichtuhr \(1\,\rm{ns}\) beträgt.

Wir bezeichnen als "System R" das System mit der violetten Lichtuhr, das relativ zum Bildschirm ruht. Dieses System ist das für uns das "ruhende System" mit dem Index "R".

Wir bezeichnen als "System B" das System mit der grünen Lichtuhr, das sich relativ zum Bildschirm mit der Relativgeschwindigkeit \(v\) bewegt. Dieses System ist das für uns das "bewegte System" mit dem Index "B".

Wir definieren als "Vorgang" die Bewegung eines Photons von der unteren zur oberen Platte in der grünen Lichtuhr, die sich relativ zum Bildschirm mit der Relativgeschwindigkeit \(v\) bewegt.

Wir definieren \(\Delta {t_{\rm{B}}}\) als die Zeitspanne, die ein Beobachter im System B (der also relativ zum Vorhang ruht) für diesen Vorgang misst.

Wir definieren \(\Delta {t_{\rm{R}}}\) als die Zeitspanne, die ein Beobachter im System R (für den sich also der Vorhang mit der Relativgeschwindigkeit \(v\) bewegt) für diesen Vorgang misst.

Wir erhalten \(\Delta {t_{\rm{R}}} > \Delta {t_{\rm{B}}}\), d.h. für den Beobachter im System R (für den sich der Vorhang mit der Relativgeschwindigkeit \(v\) bewegt) dauert der Vorgang länger ("gedehnter"; dilatare (lat.): dehnen) als für den Beobachter im System B (der relativ zum Vorhang ruht).

Klassische Betrachtungsweise eines Beschleunigungsversuches von Elektronen

Durchläuft ein Teilchen der Ladung \(q\)in einem elektrischen Feld eine elektrische Spannung UB, so nimmt das geladene Teilchen die Energie q·UB auf.

Mit dieser Information lässt sich mit den Methoden der klassischen Physik die Geschwindigkeit v von Elektronen (q = e = 1,60·10-19 As) nach Durchlaufen einer Spannung \({U_B}\) berechnen. Die kinetische Energie der Elektronen ist nämlich gleich der aus dem elektrischen Feld aufgenommenen Energie \(e \cdot {U_B}\). Für die Geschwindigkeit gilt dann nach der newtonschen Mechanik
\[{E_{kin}} = e \cdot {U_B} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = e \cdot {U_B} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_B}}}{m}} \]
In der folgenden Tabelle sind einige zusammengehörige UB-v-Wertepaare ausgerechnet:

UB in V 500 1 000 1 500 2 000 5 000 10 000 50 000 100 000 500 000
v in m/s 1,32·107 1,87·107 2,30·107 2,65·107 4,19·107 5,92·107 1,32·108 1,87·108 4,19·108

Spätestens beim letzten Wertepaar werden Sie feststellen, dass an dieser Tabelle etwas falsch sein muss, denn die Geschwindigkeit materieller Teilchen kann nicht höher als die Lichtgeschwindigkeit (3,0·108 m/s) sein.

1 Aufbau, Durchführung und Beobachtungen des Versuchs von BERTOZZI

Versuch von BERTOZZI

William BERTOZZI führte im Jahre 1964 ein Experiment durch, das ihm gestattete den Zusammenhang zwischen Beschleunigungsspannung und Elektronengeschwindigkeit genau zu studieren.

Die Elektronen werden in kurzen Stößen von etwa 3·10-9s Dauer aus einer Elektronenkanone in einen Beschleuniger geschossen, in dem sie die Beschleunigungsspannung UB durchlaufen.

Passieren die Elektronen die Elektroden A, so rufen sie am Oszilloskopschirm einen Impuls hervor (vgl. Animation). Ein zweiter Impuls wird ausgelöst, wenn die Elektronen in den 8,4m entfernten Auffänger B treffen.

Hinweis: Die nebenstehend skizzierte Anordnung weicht etwas von der Originalanordnung des BERTOZZI ab. Bei ihm befand sich ein Teil der Laufstrecke innerhalb des LINAC (linear accelerator).

Mit einem Oszilloskop kann der zeitliche Abstand der beiden Impulse und damit die Geschwindigkeit der Elektronen festgestellt werden. Man bezeichnet dieses Verfahren als "Laufzeitmethode".

 

 

Mit einem Oszilloskop kann der zeitliche Abstand der beiden oben angesprochenen Impulse festgestellt werden. Dabei ist die Horizontalablenkung des Elektroskops in dem nebenstehenden Oszillogramm, das bei einer Beschleunigungsspannung von ca. \(500{\rm{kV}}\) aufgenommen wurde, auf \({10^{ - 8}}\) eingestellt.

Berechne mit diesen Angaben und aus der Laufstrecke von \(8,4\rm{m}\) die Geschwindigkeit der Elektronen.

Bei einer genauen Messreihe wurde der folgende Zusammenhang zwischen der Beschleunigungsspannung und der Geschwindigkeit festgestellt:

Ua in MV 0,5 1,0 1,5 4,5 15
v in 108 m/s 2,60 2,73 2,88 2,96 3,00

Stelle diesen Zusammenhang in einem Ua-v-Diagramm mit roter Farbe dar. Trage in das gleiche Diagramm auch den klassisch ermittelten Zusammenhang zwischen diesen Größen in blauer Farbe ein.

Die Vorhersage der Zeitdilatation durch Einstein war in der Fachwelt zunächst sehr umstritten. Um diese Zeit (1905) konnte man noch nicht auf experimentelle Bestätigungen der theoretischen Vorhersagen hoffen. Erst im Jahre 1940 gelang Rossi und Hall der Nachweis der Zeitdilatation an Myonen.

Myonen entstehen in der oberen Erdatmosphäre durch den Aufprall kosmischer Strahlung auf Moleküle der oberen Luftschichten in ca. 10 km Höhe. Myonen sind negativ geladene Elementarteilchen - man spricht manchmal von schweren Elektronen (Ladung: -e; Masse: 207 Elektronenmassen) - die jedoch nicht stabil sind. Sie zerfallen mit einer Halbwertszeit von T1/2 = 1,52·10-6 s = 1,52 μs, was einer mittleren Lebensdauer von ca. 2,2 μs entspricht.

Nach einer Halbwertszeit sind im Schnitt von anfangs N Myonen noch N/2, nach zwei Halbwertszeiten noch N/4, nach drei Halbwertszeiten noch N/8 . . . Myonen unzerfallen. Eine große Zahl instabiler Teilchen stellt also eine Art "Uhr" dar, da die unzerfallene Zahl von Teilchen ein Maß für die abgelaufene Zeit ist.

Die durch kosmische Strahlung erzeugten Myonen zerfallen bereits zum Teil auf ihrem Weg zur Erdoberfläche in der Atmosphäre, d.h. die Myonenintensität nimmt vertikal, von oben nach unten, in unserer Atmosphäre ab. Da sich die Myonen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegen, könnte man der Meinung sein, dass nach einer Höhendifferenz von
\[\Delta h \approx c  \cdot T_{1/2}    \Rightarrow   \Delta h \approx 3,0 \cdot 10^8 \cdot 1,5 \cdot 10^{-6}\frac{m}{s} \cdot s \approx 450m\]
die Intensität der unzerfallenen Myonen auf die Hälfte abgefallen ist. Zum Durchlaufen der Höhe der gesamten Atmosphäre (10 km) würden die Myonen - nach obiger Überlegung - eine Zeit von ca. 33 μs (10000 m : 3,0·108 m/s ≈ 33 μs) benötigen, was etwa 22 Halbwertszeiten entspricht. Dies bedeutet dass auf der Erdoberfläche kaum noch unzerfallene Myonen feststellbar wären.

Rossi und Hall stellten auf dem Gipfel des Mt. Washington in 1910 m Höhe die Myonenintensität mit einem Detektor fest und verglichen diese mit der Myonenintensität auf Meereshöhe. Auf dem Berg zählten sie 563 Myonen/Stunde und auf Meereshöhe wurden 408 Myonen/Stunde ermittelt. Innerhalb der gleichen Zeit (Zeitdauer für das Durchfliegen der Höhe von 1910 m) bleiben von 563 im ruhenden Laborsystem erzeugten Myonen aber nur 31 Myonen übrig.

Die Erklärung dafür, dass wir auf der Erdoberfläche mehr Myonen nachweisen können, als wir durch unseren "gesunden Menschenverstand" erwarten, liegt in der Zeitdilatation. Die bewegte Uhr im Myonensystem geht langsamer als die Uhr im Ruhesystem Erde. Dies soll in der folgenden Animation veranschaulicht werden.

1 Relativistische Betrachtung der Lebensdauer von Myonen aus Sicht des Erdsystems

Die Erd-Uhr misst für den Weg des Myons durch die Atmosphäre etwa eine Zeit von \(33\,{\rm{\mu s}}\). Im System des Myons vergeht jedoch nur eine Zeit von ca. \(2\,{\rm{\mu s}}\). Dies erklärt, warum wir auf der Erde noch relativ viele Myonen nachweisen können.

Wenn du dich mit der Myonen-Thematik noch etwas intensiver beschäftigen willst, so kannst du die folgende Aufgabe lösen und noch eine andere Art der Betrachtung des Myonen-Experiments durchlesen. Diese Aufgabe setzt aber voraus, dass du die Seite "Zeitdilatation - quantitativ" gelesen hast.

Aufgabe

Bestimme aus den Daten der Animation in Abb. 1 die Geschwindigkeit der Myonen, welche am Rande der Erdatmosphäre entstehen.

Lösung

Für den Zusammenhang zwischen einer Zeitspanne im Ruhesystem der Myonen (gestrichene Größen) und im Erd-System gilt\[{\Delta t' = \Delta t \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  \Rightarrow 1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2} = {{\left( {\frac{{\Delta t'}}{{\Delta t}}} \right)}^2} \Rightarrow \frac{v}{c} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\Delta t'}}{{\Delta t}}} \right)}^2}} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\frac{v}{c} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{2{,}00\,{\rm{\mu s}}}}{{33{,}0\,{\rm{\mu s}}}}} \right)}^2}} = 0{,}998 \Rightarrow v = 0{,}998 \cdot c}\]

2 Relativistische Betrachtung der Flugstrecke von Myonen aus Sicht des Myonensystems

In den bisherigen Überlegungen wurde das Myonen-Experiment vom System Erde aus betrachtet:

Für Uhren im Erdsystem verstreicht zwischen der Entstehung der Myonen und deren Ankunft auf der Erdoberfläche die Zeit von ca. \(33\,{\rm{\mu s}}\). Im Ruhesystem der Myonen stellt man für diese Zeitspanne jedoch nur ca. \(2\,{\rm{\mu s}}\) fest, was durch das Phänomen Zeitdilatation der EINSTEINschen Theorie erklärt wird.

Wie ist jedoch der Vorgang zu beschreiben, wenn man sich in das Ruhesystem der Myonen versetzt?

In diesem System rast die Erde mit nahezu Lichtgeschwindigkeit auf das Myon zu. Aufgrund der Längenkontraktion (bewegt Maßstäbe erscheinen verkürzt) erscheint die Erde in ihrer Bewegungsrichtung auf das Myon zu abgeplattet, auch die Höhe der Erdatmosphäre erscheint verkürzt. Daher ist es möglich, dass Myonen innerhalb ihrer Lebensdauer, die im Bereich von \(2\,{\rm{\mu s}}\) liegt, die Erdoberfläche erreichen.

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