Kräfteaddition und -zerlegung

Mechanik

Kräfteaddition und -zerlegung

  • Ziehen zwei immer stärker als einer?
  • Was ist eigentlich ein „Kräfteparallelogramm“?
  • Warum müssen Messer immer scharf sein?

Bei diesem Programm geht es um Kräfte, die an einem (als punktförmig angenommenen) Körper angreifen. In dem Auswahlfeld auf der linken Seite kann man die Zahl der Einzelkräfte einstellen. Beträge und Richtungen dieser Einzelkräfte (violett) lassen sich verändern, indem man mit gedrückter Maustaste die Pfeilspitzen an die gewünschten Stellen zieht.

Wenn man wissen will, welche Kraft insgesamt auf den Körper ausgeübt wird, muss man eine sogenannte Vektoraddition durchführen. Sobald man auf den Schaltknopf "Gesamtkraft ermitteln" klickt, führt das Programm die dazu erforderlichen Parallelverschiebungen der Kraftpfeile aus und zeichnet anschließend den Pfeil für die Gesamtkraft oder Ersatzkraft (rot).

Mit dem unteren Schaltknopf kann man die Konstruktion wieder löschen.

Zahl der Einzelkräfte
©  W. Fendt 1998

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

a) Addition von Kräften mit gleicher Wirkungslinie und gleichem Angriffspunkt

Wirken zwei Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} \) und \(\overrightarrow {{F_2}} \) mit gleicher Wirkungslinie auf einen Körper, so findet man die resultierende Kraft \(\overrightarrow {{F_r}} \) graphisch, wie es in den folgenden Zeichnungen dargestellt ist.

Hinweis: Die resultierende Kraft hat die gleiche Wirkung wie \(\overrightarrow {{F_1}} \) und \(\overrightarrow {{F_2}} \) zusammen. Mit \(\overrightarrow {{F_r}} \)kann man \(\overrightarrow {{F_1}} \) und \(\overrightarrow {{F_2}} \) ersetzen. Daher heißt \(\overrightarrow {{F_r}} \) auch Ersatzkraft.

  • \(\overrightarrow {{F_1}} \) und \(\overrightarrow {{F_2}} \) sind gleichgerichtet:

Hinweis: Es ist ratsam, bei der zeichnerischen Lösung die Ersatzkraft in einer anderen Farbe (z.B. blau) zu zeichnen als die Ausgangskräfte F1 und F2. Man streicht dann die Ausgangskräfte mit der Farbe der Ersatzkraft durch, um anzudeuten, dass für weitere Überlegungen nur noch die Ersatzkraft betrachtet werden muss. Diese Methode erleichtert besonders bei komplizierteren Problemen mit vielen Kräften die Lösung.

  • \(\overrightarrow {{F_1}} \) und \(\overrightarrow {{F_2}} \) sind entgegengesetzt gerichtet:

b) Addition von Kräften mit verschiedener Wirkungslinie und gleichem Angriffspunkt

Wirken zwei Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} \) und \(\overrightarrow {{F_2}} \) mit verschiedener Wirkungslinie auf einen Körper, so findet man die resultierende Kraft \(\overrightarrow {{F_r}} \) wie in den Zeichnungen dargestellt entweder durch das Kräfteparallelogramm
oder durch das Kraftdreieck.

Geometrisches Problem beim Kräfteparallelogramm:
Die Richtungen und Längen der Parallelogrammseiten sind gegeben, gesucht ist die Länge und die Richtung der Diagonale des Parallelogramms.

c) Zerlegung einer Kraft in Komponenten
Gegeben ist ein Kraftvektor, der in Komponenten zu zerlegen ist, deren Richtungen jeweils durch das physikalische Problem bestimmt sind.

Geometrisches Problem:
Von einem Parallelogramm sind die Länge und die Richtung der Diagonalen sowie die Richtungen der Seiten gegeben. Gesucht sind die Seitenlängen (vgl. hierzu auch das Übungsblatt).

Beispiel: Schiefe Ebene
Gegeben ist ein Körper der Gewichtskraft Fg auf einer schiefen Ebene. Gesucht sind die Komponenten der Gewichtskraft parallel (Hangabtriebskraft) und senkrecht (Normalkraft) zur schiefen Ebene.

Hinweis: Erfahrungsgemäß haben viele Schüler bei der Kräftezerlegung mehr Schwierigkeiten als bei der Kräfteadditon. Mit Vorübungen zur Kräftezerlegung können diese Schwierigkeiten teilweise beseitigt werden.

Eine Krone mit der Gewichtskraft vom Betrag \({F_{\rm{G}}} = 20{\rm{kN}}\) hängt als Wirtshausschild an der skizzierten Stabverbindung.

Gib an, welche Kräfte im Punkt A auf die Stäbe wirken.

Erläutere, in welche Kräfte senkrecht (\(\overrightarrow {{F_{\rm{s}}}} \)) und parallel (\(\overrightarrow {{F_{\rm{p}}}} \)) zur Wand man die Kraft des Stabes in B zerlegen kann.

Bestimme zeichnerisch den Betrag der Kraft, die in C durch den Stab wirkt.

Bei der Kräftezerlegung besteht aus geometrischer Sicht die Aufgabe, aus einer vorgegebenen Parallelogrammdiagonalen (am Beispiel der schiefen Ebene ist das die Gewichtskraft) und den Richtungen der Parallelogrammseiten (am Beispiel der schiefen Ebene sind das die Richtungen von Hangabtriebskraft und Normalkraft) das Parallelogramm zu konstruieren. Die Richtungen der Parallelogrammseiten sind dabei durch das physikalische Problem vorgegeben .


geg.: Parallelogrammdiagonale (schwarz)           

ges.: Parallelogramm

Die nebenstehende Animation zeigt, dass nur die Vorgabe der Parallelogrammdiagonalen zu keinem eindeutig festgelegtem Parallelogramm führt.
Physikalisch bedeutet dies, dass eine Kraft auf beliebig viele Arten zerlegt werden kann, wenn die Richtungen der Komponenten, in welche die Kraft zerlegt werden soll, nicht bekannt sind.

 

geg.: Parallelogrammdiagonale (schwarz) und die Richtung einer Parallelogrammseite (gestrichelte rote Linie)

ges.: Parallelogramm

Die nebenstehende Animation zeigt, dass die Vorgabe der Parallelogrammdiagonalen und der Richtung nur einer Parallelogrammseite zu keinem eindeutig festgelegten Parallelogramm führt.
Physikalisch bedeutet dies, dass eine Kraft auf beliebig viele Arten zerlegt werden kann, wenn nur die Richtung einer Komponente bekannt ist.

 

geg.: Parallelogrammdiagonale (schwarz) und die Richtung zweier Parallelogrammseiten (gestrichelte Linien)

ges.: Parallelogramm

Die nebenstehende Animation zeigt, dass die Vorgabe der Parallelogrammdiagonalen und der Richtungen zweier Parallelogrammseiten in der Regel zu einem eindeutig festgelegten Parallelogramm führt.


Physikalisch bedeutet dies, dass eine Kraft in der Regel auf eindeutige Weise in Komponenten zerlegt werden kann, wenn die Richtung der Komponenten bekannt ist.

Aufgabe

Zeichne in den vier Beispielen das Parallelogramm, welches als Diagonale die schwarze Strecke hat und dessen Seiten parallel zu den rot gestrichelten Linien sind.


zur Lösung

Nach diesen Übungen solltest du in der Parallelogramm-Konstruktion fit sein. In der Physik geht es nun noch darum, bei vorgegebener resultierender Kraft die dem Problem angepassten Richtungen der Komponenten zu finden. Hierzu ist es sinnvoll, möglichst viele Musteraufgaben zu probieren.

Bei physikalischen Problemen ist es oft sinnvoll, eine Kraft durch eine Kombination von zwei Kräften mit vorgegebenen Richtungen zu ersetzen. Selbstverständlich müssen diese zwei Kräfte gleichwertig zur gegebenen Kraft sein. Ihre Vektorsumme muss also mit der gegebenen Kraft übereinstimmen. Ist diese Voraussetzung erfüllt, so spricht man von der Zerlegung der Kraft in zwei Komponenten.

Eine einfache geometrische Konstruktion liefert die Beträge der Komponenten: Man zeichnet zwei Geraden, die zu den vorgegebenen Richtungen parallel sind und durch die Pfeilspitze des gegebenen Kraftvektors gehen. Auf diese Weise entsteht das so genannte Kräfteparallelogramm. Die gesuchten Beträge der Komponenten lassen sich nun aus den Seitenlängen dieses Parallelogramms ablesen.

Die gegebene Kraft und die Richtungen der gesuchten Kraftkomponenten lassen sich wahlweise mit der Maus (bei gedrückter Maustaste) oder mit Hilfe der drei Eingabefelder eingeben ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Klickt man mit der Maus auf den oberen der beiden Schaltknöpfe ("Komponenten ermitteln"), so wird die beschriebene Konstruktion ausgeführt, und die Beträge der beiden Komponenten erscheinen auf der Schaltfläche. Mit dem unteren Schaltknopf lässt sich die Konstruktion wieder löschen.

Betrag der gegebenen
Kraft:N
Winkelgrößen:
1. Winkel:°
2. Winkel:°
Beträge der Kraftkomponenten:
1. Komponente:?N
2. Komponente:?N
©  W. Fendt 2003

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Der grüne und der violette Winkel sollen gleich groß sein. Versuche unter den gegebenen Randbedingungen einen Wert für diesen Winkel zu finden, so dass die Winkel zum einen möglichst groß und zum anderen möglichst klein werden, wenn die zu zerlegende Kraft einen festen Betrag hat.

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