Einfache Maschinen

Mechanik

Einfache Maschinen

  • Warum benutzen Einbrecher sogenannte „Brecheisen“?
  • Kann man mit einer Rampe Arbeit sparen?
  • Wie funktioniert eigentlich ein Flaschenzug?
  • Warum hat ein Fahrrad denn eine Gangschaltung?

Kraftwandler sind einfache Geräte, mit denen ein oder mehrere Bestimmungsstück(e) einer Kraft verändert werden. Bestimmungsstücke einer Kraft sind Angriffspunkt, Betrag und Richtung. Beispiele für Kraftwandler sind eine Stange bzw. ein Seil, eine feste Rolle, ein Flaschenzug, eine schiefe Ebene, ein Hebel oder ein Wellrad.

a) Seil (ändert nur den Angriffspunkt) b) Gleicharmige Wippe (ändert Angriffspunkt und Richtung) c) Seil und feste Rolle (ändert Angriffspunkt und Richtung)
 
 
 
d) Hebel (allgemein – ändert Angriffpunkt, Betrag und Richtung)

Definition: Ein Hebel ist ein um eine feste Achse drehbarer starrer Körper.

Drehwirkung: Die Drehwirkung einer Kraft am Hebel wird durch das Drehmoment M beschrieben.

M = F · a

 

a:

Hebelarm (Abstand der Wirkungslinie der Kraft vom Drehpunkt D).

F:

Kraft, die am Hebel angreift

Hinweis: Nur in Sonderfällen ist der Abstand zwischen dem Angriffspunkt P der Kraft und dem Drehpunkt gleich dem Hebelarm.

Gleichgewichtsbedingung: Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der linksdrehenden Momente gleich der Summe der rechtsdrehenden Momente ist.

In dem skizzierten Beispiel gilt im Gleichgewichtsfall:

F1 · a1 + F2 · a2 = F3 · a3

e) Seil-Rolle-Kombinationen: Flaschenzüge

Gleichgewichtsbedingung an einer Rolle: Die Summe der beiden Seilkräfte ist gleich der im Rollenmittelpunkt angreifenden Kraft

G = 2 · F

Unter Ausnutzung dieser Gleichgewichtsbedingung lässt sich für beliebige Seil-Rolle-Kombinationen der Zusammenhang zwischen Zugkraft F am Seilende und der Gewichtskraft G der Last herstellen.

Ermittle durch mehrfache Anwendung der Gleichgewichtsbedingung der Rolle die Beziehung zwischen F und G des Flaschenzuges.

 

Karin baut sich ein Mobile, bei dem die Stangen "gewichtslos" und jeweils 30 cm lang sind.

Berechne die Länge der Strecke \(x = \left| {\overline {AB} } \right|\).

Berechne, wie groß die Gewichtskraft G gewählt werden muss, damit Gleichgewicht herrscht.

 

Festlegung

  • Kraftwandler sind einfache Geräte, mit denen ein oder mehrere Bestimmungsstück(e) einer Kraft verändert werden.
  • Bestimmungsstücke einer Kraft sind Angriffspunkt, Betrag und Richtung.

 

Beispiele für einige Kraftwandler

Seil (ändert nur den Angriffspunkt)
 
Gleicharmige Wippe (ändert Angriffspunkt und Richtung)
 
Seil und feste Rolle (ändert Angriffspunkt und Richtung)
Mit Hilfe des Seils kann der Angriffspunkt der Handkraft von A nach B verlegt werden.
Mit Hilfe der Wippe kann der Angriffspunkt der Handkraft von A nach B verlegt werden. Außerdem kann die Richtung der Kraft geändert werden.
Mit Hilfe der Wippe kann der Angriffspunkt der Handkraft von A nach B verlegt werden. Außerdem kann die Richtung der Kraft geändert werden.

 

Nähere Betrachtung des Kraftwandlers Hebel

Festlegung:
Ein Hebel ist ein um eine feste Achse drehbarer starrer Körper. Hierzu einige Beispiele

Das Drehmoment, ein Maß für die Drehwirkung einer Kraft am Hebel
Aus dem Alltag weißt du, dass man festsitzende Schraubenmuttern mit einem langen Schraubenschlüssel eher lockern kann als mit einem kurzen Schraubenschlüssel. Versuche zeigen, dass die Drehwirkung einer Kraft umso größer ist, je größer der Kraftbetrag und der Hebelarm ist. Dies führt zur folgenden Definition des Drehmomentes M, welches ein Maß für die Drehwirkung ist.


M = F · a

Dabei bedeuten:

F: Betrag der Kraft, die am Hebel angreift
a: Hebelarm (Abstand der Wirkungslinie der Kraft vom Drehpunkt D).

Hinweise:

  • Nur in Sonderfällen ist der Abstand zwischen dem Angriffspunkt P der Kraft und dem Drehpunkt gleich dem Hebelarm.
  • Je nach der Drehrichtung, die von einem Drehmoment bewirkt wird, unterscheidet man linksdrehende und rechtsdrehende Momente und verwendet dabei die folgende Symbolik.

  • Die Einheit des Drehmoments ist [M] = 1N·m; hierfür schreibt man jedoch nicht wie bei der Energie 1 J.

 

Gleichgewichtsbedingung am Hebel:
Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der linksdrehenden Momente gleich der Summe der rechtsdrehenden Momente ist.

In dem skizzierten Beispiel gilt im Gleichgewichtsfall:

F1 · a1 + F2 · a2 = F3 · a3

Eine Maschinenschraube soll mit einem Drehmoment von \(38\rm{Nm}\) festgezogen werden.

  1. Berechne den Betrag der Kraft, die bei einem \(60\rm{cm}\) langen Schraubenschlüssel dafür nötig ist.

  2. Berechne, welches Drehmoment man bei dem selben Schlüssel durch die Kraft \(150\rm{N}\) erhält.

 

Mit einem Wellrad wird eine Last mit \(G = 500\rm{N}\) an einer Welle mit \(r_1 = 10\rm{cm}\) um \(h = 8,0\rm{m}\) hochgezogen.

  1. Berechne den Betrag \(F\) der Kraft F, die dazu am äußeren Rad mit \(r_2 = 40\rm{cm}\) wirken muss.

  2. Berechne die Strecke \(s\), die man am Seil ziehen muss.

  3. Berechne, welche Arbeit bei diesem Vorgang verrichtet wird.

 
  1. Berechne den Betrag \({{F_3}}\) der Kraft, die nötig ist, damit der nebenstehende Hebel mit \({{F_1} = 40{\rm{N}}}\) und \({{F_2} = 50{\rm{N}}}\) im Gleichgewicht ist.

     
  2. Bestimme sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch den Abstand vom Drehpunkt, den der Angriffspunkt A der Kraft \({{F_3} = 100{\rm{N}}}\) vom Drehpunkt D haben muss, damit am Hebel mit \({{F_1} = 40{\rm{N}}}\) und \({{F_2} = 50{\rm{N}}}\) Gleichgewicht herrscht.

     

Eine Seil-Rollen-Kombination

Durch eine geschickte Kombination von Rollen, um welche ein Seil geschlungen wird, gelingt es, einen Kraftwandler aufzubauen, mit dem eine hohe "Kraftersparnis" beim Heben von Lasten möglich ist. Flaschenzüge waren schon im Altertum bekannt, sie werden auch heute noch zum Heben schwerster Lasten eingesetzt.

Kräftegleichgewicht an einer Rolle

Es wird zunächst vereinfachend angenommen, dass das Eigengewicht der Rollen und des Seils, mit denen ein Flaschenzug aufgebaut wird, vernachlässigt werden kann. Wir betrachten den Gleichgewichtsfall an einer Rolle näher:

Wirkt im linken Seilstück eine Kraft F lotrecht nach unten, so muss - damit sich die Rolle nicht dreht - im rechten Seilstück auch eine Kraft F lotrecht nach unten wirken. In diesem Fall ist das linksdrehende und das rechtsdrehende Drehmoment in Bezug auf den Rollenmittelpunkt gleich. Man sagt auch die Summe der beiden Drehmomente ist Null.

Aufgrund der beiden nach unten wirkenden Kräfte würde sich die Rolle beschleunigt nach unten bewegen. Kräftegleichgewicht herrscht erst dann, wenn im Rollenmittelpunkt eine Kraft 2·F lotrecht nach oben wirkt. Die Kraft 2·F muss in der Rollenmitte angreifen, damit durch sie kein zusätzliches Drehmoment hervorgerufen wird.

Bedingung für Gleichgewicht an der Rolle:

  • Summe aller Drehmomente ist Null → Die beiden gleichgerichteten Seilkräfte haben den gleichen Betrag F

  • Summe aller Kraftvektoren ist Null → Die den Seilkräften entgegengerichtete Kraft auf die Rollenachse hat den Betrag 2·F

Stell dir vor, ein Bauarbeiter müsste einen schweren Sack Zement (Gewichtskraft Fg = G) von einem Gerüst aus in den 2. Stock hochziehen. Dazu könnte er ein Seil vom 2. Stock herablassen, den Zementsack anbinden und ihn vom 2. Stock aus hochziehen. Bei dieser Methode muss er eine Zugkraft F aufbringen, die gleich der Gewichtskraft G des Sackes ist. Der Vorteil dieses Vorgehens ist, dass der Bauarbeiter außer dem Seil keine Gerätschaft braucht. Der Nachteil: er muss eine relativ hohe Zugkraft aufbringen und die Körperhaltung beim Ziehen nach oben wird seinem Rücken auf Dauer nicht gut tun.

Eine Verbesserung stellt die Verwendung einer festen Rolle (Rolle mit fest gelagerter Achse) dar. Hierbei gilt zwar wieder F = G, jedoch kann der Arbeiter von oben nach unten ziehen (er befindet sich am Boden) und so u. U. seine eigene Gewichtskraft einsetzen.

Eine Halbierung der Zugkraft bringt die Verwendung einer losen Rolle (Rolle deren Achse nicht fest sitzt). Jedoch hat der Bauarbeiter wie bei der Verwendung eines bloßes Seiles eine ungünstige Zugposition. Die "Kraftersparnis" erkauft er sich dadurch, dass er dass Seil um eine Strecke s ziehen muss, die gleich der doppelten Höhe h ist.

Setzt der Bauarbeiter die lose und die feste Rolle zusammen ein, so hat er einen Flaschenzug aufgebaut. Bei ihm hat er trotz Krafthalbierung auch noch eine günstige Zugposition.

Flaschenzug mit drei losen Rollen

  1. Gib den Zusammenhang zwischen Hubhöhe \(h\) und Zugstrecke \(s\) bei dem nebenstehenden Flaschenzug an.

  2. Ermittle durch mehrfache Anwendung der Gleichgewichtsbedingung an der Rolle die Beziehung zwischen \(F\) und \(G\) bei dem nebenstehenden Flaschenzug.

 

In der nebenstehenden Animation ist dargestellt, wie der obige Flaschenzug kompakter aufgebaut werden kann. Du siehst in dem Bild auch, was man als "Flasche" bezeichnet.

 
Flaschenzüge mit n = 2

Als Flaschenzug bezeichnet man eine geschickte Kombination von einer oder mehreren Rollen, um die ein Seil geschlungen ist. In den Abbildungen rechts siehst du verschiedene, immer komplizierter werdende Flaschenzüge.

Üblicherweise ist entweder das Seil oder aber eine der Rollen an der Decke oder einem starken Balken unterhalb der Decke befestigt. An einer anderen Rolle befindet sich jeweils eine Last, die mit Hilfe des Flaschenzugs angehoben werden soll. Schließlich ist ein Ende des Seils entweder an der Decke oder an einer der Rollen befestigt, an dem anderen Ende des Seils kann man ziehen.

Wir bezeichen die Kraft der Last mit \({\vec F_{\rm{L}}}\), die Länge der Strecke, um die die Last angehoben wird, mit \({s_{\rm{L}}}\), die Kraft, mit der man am Seil ziehen muss (die Zugkraft), mit \({\vec F_{\rm{Z}}}\) und die Länge der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss (die Zugstrecke), mit \({s_{\rm{Z}}}\).

Entscheidend bei der Anordnung der Rollen(n) und des Seils ist es nun, dass die Last nicht mehr nur an einem, sondern an mehreren Teilen des Seils hängt. Man spricht bei diesen Teilen von den "tragenden Seilen", obwohl es sich natürlich immer nur um das gleiche Seil handelt. Die "tragenden Seile" sind in den Abbildungen rechts jeweils durch rote Punkte markiert, ihre Anzahl bezeichnen wir mit \(n\).

Gesetze des Flaschenzugs

Bezeichnet man die Anzahl der "tragenden Seile" eines Flaschenzugs mit \(n\), die Kraft der Last mit \({\vec F_{\rm{L}}}\), die Länge der Strecke, um die die Last angehoben wird, mit \({s_{\rm{L}}}\), die Kraft, mit der man am Seil ziehen muss, mit \({\vec F_{\rm{Z}}}\) und die Länge der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss, mit \({s_{\rm{Z}}}\), so gilt

1. Der Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der Zugkraft ist gleich dem \(n\)-ten Teil des Betrages \({F_{\rm{L}}}\) der Kraft der Last:
\[{F_{\rm{Z}}} = \frac{F_{\rm{L}}}{n}  \quad (1)\]

2. Die Länge \({s_{\rm{Z}}}\) der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss, ist gleich dem \(n\)-fachen der Länge \({s_{\rm{L}}}\) der Strecke, um die die Last angehoben wird:
\[{s_{\rm{Z}}} = n \cdot {s_{\rm{L}}} \quad (2)\]

3. Bei jedem Flaschenzug ist das Produkt aus dem Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der Zugkraft und der Länge \({s_{\rm{Z}}}\) der Zugstrecke gleich dem Produkt aus dem Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der Kraft der Last und der Länge \({s_{\rm{L}}}\) der Strecke, um die die Last angehoben wird:
\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} \quad (3)\]

Leite mit Hilfe der beiden Gleichungen \((1)\) und \((2)\) die Gleichung \((3)\) her.

Hinweis: Manchmal werden Flaschenzüge auch horizontal angeordnet, um z.B. ein Auto, das im Schnee feststeckt, freizuziehen. Dann gelten die obigen Gleichungen entsprechend auch.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zum Flaschenzug zu lösen musst du häufig eine der drei Gleichungen \((1)\), \((2)\) oder \((3)\) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden drei Anleitungen.

Die Gleichung\[F_{\rm{Z}} = \frac{F_{\rm{L}}}{n}\]ist bereits nach \(F_{\rm{Z}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[F_{\rm{Z}} = \frac{F_{\rm{L}}}{n}\]nach \(F_{\rm{L}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(F_{\rm{L}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche also zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst\[\frac{F_{\rm{L}}}{n} = F_{\rm{Z}}\]
Nun wird \(F_{\rm{L}}\) aber noch durch \(n\) dividiert, es soll aber alleine stehen. Multipliziere deshalb beide Seiten der Gleichung mit \(n\). Schreibe \(n\) auf der linken Seite der Gleichung direkt in den Zähler des Bruches – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst\[\frac{{F_{\rm{L}} \cdot n}}{n} = F_{\rm{Z}} \cdot n\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(n\). Du erhältst\[F_{\rm{L}} = F_{\rm{Z}} \cdot n\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(F_{\rm{L}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[F_{\rm{Z}} = \frac{F_{\rm{L}}}{n}\]nach \(n\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(n\) noch auf der rechten Seite der Gleichung und auch noch im Nenner des Bruches, es soll aber auf die linke Seite und dort in den Zähler. Du wirst gleich sehen, dass du die beiden Seiten der Gleichung aber gar nicht vertauschen musst. Multipliziere einfach beide Seiten der Gleichung mit \(n\). Schreibe \(n\) auf der rechten Seite der Gleichung direkt in den Zähler des Bruches – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst\[F_{\rm{Z}} \cdot n = \frac{{F_{\rm{L}} \cdot n}}{n}\]
Kürze nun den Bruch auf der rechten Seite durch \(n\). Du erhältst\[F_{\rm{Z}} \cdot n = F_{\rm{L}}\]
Nun wird \(n\) aber noch mit \(F_{\rm{Z}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(F_{\rm{Z}}\); schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(F_{\rm{Z}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst\[\frac{{F_{\rm{Z}} \cdot n}}{F_{\rm{Z}}} = \frac{F_{\rm{L}}}{F_{\rm{Z}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(F_{\rm{Z}}\). Du erhältst\[n = \frac{F_{\rm{L}}}{F_{\rm{Z}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(n\) aufgelöst.
Die Gleichung\[s_{\rm{Z}} = n \cdot s_{\rm{L}}\]ist bereits nach \(s_{\rm{Z}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[s_{\rm{Z}} = n \cdot s_{\rm{L}}\]nach \(s_{\rm{L}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(s_{\rm{L}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[n \cdot s_{\rm{L}} = s_{\rm{Z}}\]
Nun wird \(s_{\rm{L}}\) aber noch mit \(n\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(n\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(n\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{{n \cdot s_{\rm{L}}}}{n} = \frac{s_{\rm{Z}}}{n}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(n\). Du erhältst\[s_{\rm{L}} = \frac{s_{\rm{Z}}}{n}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(s_{\rm{L}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[s_{\rm{Z}} = n \cdot s_{\rm{L}}\]nach \(n\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(n\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[n \cdot s_{\rm{L}} = s_{\rm{Z}}\]
Nun wird \(n\) aber noch mit \(s_{\rm{L}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(s_{\rm{L}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(s_{\rm{L}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{{n \cdot s_{\rm{L}}}}{s_{\rm{L}}} = \frac{s_{\rm{Z}}}{s_{\rm{L}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(s_{\rm{L}}\). Du erhältst\[n = \frac{s_{\rm{Z}}}{s_{\rm{L}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(n\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}} = F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}\]nach \(F_{\rm{Z}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Auf der linken Seite der Gleichung wird \(F_{\rm{Z}}\) noch mit \(s_{\rm{Z}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(s_{\rm{Z}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(s_{\rm{Z}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst\[\frac{{F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}}}}{s_{\rm{Z}}} = \frac{{F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}}}{s_{\rm{Z}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(s_{\rm{Z}}\). Du erhältst\[F_{\rm{Z}} = \frac{{F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}}}{s_{\rm{Z}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(F_{\rm{Z}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}} = F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}\]nach \(s_{\rm{Z}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Auf der linken Seite der Gleichung wird \(s_{\rm{Z}}\) noch mit \(F_{\rm{Z}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(F_{\rm{Z}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(F_{\rm{Z}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst\[\frac{{F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}}}}{F_{\rm{Z}}} = \frac{{F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}}}{F_{\rm{Z}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(F_{\rm{Z}}\). Du erhältst\[s_{\rm{Z}} = \frac{{F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}}}{F_{\rm{Z}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(s_{\rm{Z}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}} = F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}\]nach \(F_{\rm{L}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(F_{\rm{L}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche also zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst\[F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}} = F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}}\]
Auf der linken Seite der Gleichung wird \(F_{\rm{L}}\) noch mit \(s_{\rm{L}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(s_{\rm{L}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(s_{\rm{L}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst\[\frac{{F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}}}{s_{\rm{L}}} = \frac{{F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}}}}{s_{\rm{L}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(s_{\rm{L}}\). Du erhältst\[F_{\rm{L}} = \frac{{F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}}}}{d}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(F_{\rm{L}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}} = F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}\]nach \(s_{\rm{L}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(s_{\rm{L}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche also zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst\[F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}} = F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}}\]
Auf der linken Seite der Gleichung wird \(s_{\rm{L}}\) noch mit \(F_{\rm{L}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(F_{\rm{L}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(F_{\rm{L}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst\[\frac{{F_{\rm{L}} \cdot s_{\rm{L}}}}{F_{\rm{L}}} = \frac{{F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}}}}{F_{\rm{L}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(F_{\rm{L}}\). Du erhältst\[s_{\rm{L}} = \frac{{F_{\rm{Z}} \cdot s_{\rm{Z}}}}{F_{\rm{L}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(s_{\rm{L}}\) aufgelöst.
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