Beschleunigte Bewegung

Mechanik

Beschleunigte Bewegung

  • Was heißt eigentlich „Von 0 auf 100 in 6 Sekunden“?
  • Ist Bremsen denn auch Beschleunigen?
  • Wird man beim Beschleunigen wirklich immer schneller?

Fahrräder, Autos, Züge und Flugzeuge bewegen sich zwar auf geradlinigien Strecken häufig nahezu gleichförmig, sie müssen aber alle zuerst einmal aus der Ruhe in Bewegung und schließlich wieder zur Ruhe kommen. Die jeweiligen Bewegungsformen bezeichnen wir im Alltag als "Beschleunigen" bzw. als "Bremsen" oder "Verzögern", in der Physik werden beide Bewegungsformen unter dem Begriff "Beschleunigen" behandelt. Wir wollen direkt an dieser Stelle bemerken, dass wir uns vorerst nur mit der sogenannten "gleichmäßig beschleunigten Bewegung" beschäftigen werden; was bei dieser Art der beschleunigten Bewegung "gleichmäßig" ist, werden wir in den folgenden Abschnitten erarbeiten.

gleichförmige Bewegung

gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Zwar ist aus den zwei Animationen anschaulich sofort klar, was der Unterschied zwischen einer gleichförmigen und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist: bei einer gleichförmigen Bewegung ist der Körper immer gleich schnell, er hat immer die gleiche Geschwindigkeit. Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung dagegen wird der Körper immer schneller (seine Geschwindigkeit wird größer) - wir sagen der Körper "beschleunigt". Auch hier wollen wir wieder versuchen quantitativ, d.h. zahlenmäßig zu erfassen, wie ein Körper immer schneller wird. Dabei werden wir den Begriff der "Beschleunigung" physikalisch definieren, d.h. so festlegen, dass man mit Hilfe einer eindeutigen Messvorschrift einen Zahlenwert für die "Beschleunigung" angeben kann.

Im weiteren Verlauf unserer Überlegungen werden wir Definitionen der Begriffe "gleichmäßig beschleunigte Bewegung" sowie "Beschleunigung bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung" erarbeiten und wichtige Erkennungsmerkmale von gleichmäßig beschleunigten Bewegungen zusammenstellen

Zum Erfassen einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung benötigt man (wie bei allen anderen Bewegungen auch) zum einen eine Uhr zur Zeitmessung und zum anderen einen geeigneten Maßstab zur Messung der zurückgelegten Strecke. Der Einfachheit halber legen wir den Maßstab so, dass sich der Körper zum Beginn der Bewegung im Nullpunkt befindet, also noch keine Strecke \(s\) zurückgelegt hat. Außerdem starten wir die Messung der Zeit \(t\) genau dann, wenn sich der Körper in Bewegung setzt.

In der untenstehenden Animation wird während der Bewegung alle \(0,5\rm{s}\) die zurückgelegte Strecke \(s\) gemessen und die sich ergebenden \((t|s)\)-Wertepaare in die sogenannte Zeit-Weg-Tabelle eingetragen.

Anschließend werden die \((t|s)\)-Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem mit der Zeit \(t\) auf der horizontalen Achse (Rechtsachse) und der zurückgelegte Strecke \(s\) auf der vertikalen Achse (Hochachse) eingetragen und durch eine passende Linie verbunden. So entsteht der sogenannte Zeit-Weg-Graph, der oft auch als Zeit-Weg-Diagramm bezeichnet wird.

Schließlich wird der zum Graphen gehörige Funktionsterm in Form der Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion angegeben.

Hinweis für Fortgeschrittene: Normalerweise wird auf dem Maßstab nicht die vom Körper seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\), sondern dessen momentaner Ort \(x\) gemessen. Da die hier dargestellte Bewegung aber nur in einer Richtung stattfindet und sich der Körper zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\) am Ort \(x=0\rm{m}\) befindet, stimmen zurückgelegte Strecke und Ort überein.

   

Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

In der Zeit-Weg-Tabelle sieht man, dass nach z.B. \(1,000\rm{s}\) eine Strecke von \(0,375\rm{m}\) zurückgelegt wurde, nach der doppelten Zeit von \(2,000\rm{s}\) die vierfache Strecke von \(1,500\rm{m}\), nach der dreifachen Zeit von \(3,000\rm{s}\) die neunfache Strecke von \(3,375\rm{m}\) und nach der vierfachen Zeit von \(4,000\rm{s}\) die sechzehnfache Strecke von \(6,000\rm{m}\). Die zurückgelegte Strecke wächst also quadratisch mit der verstrichenen Zeit an.
Der Zeit-Weg-Graph liegt auf einer nach oben geöffneten Parabel, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.
Die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion lautet \(s = 0,375\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot {t^2}\).
Alle diese Eigenschaften sind typisch für sogenannte Quadratische Funktionen, die du im Mathematikunterricht bereits kennengelernt haben solltest. Da sich diese Eigenschaften bei jeder gleichmäßig beschleunigten Bewegung - lediglich mit anderen Zahlenwerten - zeigen, können wir sie zu einer ersten Charakterisierung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung heranziehen:

Erste Charakterisierung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt, wenn er sich auf einer geraden Linie bewegt und die seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\) quadratisch mit der seit dem Start der Bewegung vergangenen Zeit \(t\) zunimmt. Dies erkennt man unter anderem daran, dass
in der Zeit-Weg-Tabelle zur doppelten, dreifachen, ... Zeit die vierfache, neunfache, ... Strecke gehört
der Zeit-Weg-Graph auf einer nach oben geöffneten, durch den Ursprung des Koordinatensystems verlaufenden Parabel liegt
die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion die Form \(s = k \cdot {t^2}\) einer Quadratischen Funktion hat.

Allerdings zeigen diese Eigenschaften nicht klar auf, warum man von einer "gleichmäßig" beschleunigten Bewegung spricht. Um dies zu verstehen muss man auch das zeitliche Verhalten der Geschwindigkeit des Körpers untersuchen. Zum Erfassen dieser Geschwindigkeit benötigt man wieder eine Uhr zur Zeitmessung und zum anderen eine geeignete Methode zur Messung der momentanen Geschwindigkeit. Benutzt man im Alltag hierfür üblicherweise Tachometer, so stellen wir die momentane Geschwindigkeit durch einen Pfeil dar, dessen Länge ein Maß für die momentane Geschwindigkeit des Körpers ist. Wir starten die Messung der Zeit \(t\) wieder genau dann, wenn sich der Körper in Bewegung setzt, er also zu diesem Zeitpunkt noch keine Geschwindigkeit besitzt.

In der untenstehenden Animation wird während der Bewegung alle \(0,5\rm{s}\) die momentane Geschwindigkeit \(v\) gemessen und die sich ergebenden \((t|v)\)-Wertepaare in die sogenannte Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle eingetragen.

Anschließend werden die \((t|v)\)-Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem mit der Zeit \(t\) auf der horizontalen Achse (Rechtsachse) und der momentanen Geschwindigkeit \(v\) auf der vertikalen Achse (Hochachse) eingetragen und durch eine passende Linie verbunden. So entsteht der sogenannte Zeit-Geschwindigkeits-Graph, der oft auch als Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm bezeichnet wird.

Schließlich wird der zum Graphen gehörige Funktionsterm in Form der Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion angegeben.

   

Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

In der Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle sieht man, dass nach z.B. \(1,000\rm{s}\) eine Geschwindigkeit von \(0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) erreicht wurde, nach der doppelten Zeit von \(2,000\rm{s}\) die doppelte Geschwindigkeit von \(1,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\), nach der dreifachen Zeit von \(3,000\rm{s}\) die dreifache Geschwindigkeit von \(2,250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und nach der vierfachen Zeit von \(4,000\rm{s}\) die vierfache Geschwindigkeit von \(3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Die erreichte Geschwindigkeit wächst also proportional zur verstrichenen Zeit an.
Dies bedeutet aber auch, dass für alle \((t|v)\)-Wertepaare der Quotient \(\frac{v}{t}\) aus erreichter Geschwindigkeit \(v\) und dafür benötigter Zeit \(t\) den selben Wert besitzt (sogenannte Quotientengleichheit). Es ergibt sich in unserem Beispiel stets
\[\frac{v}{t} = \frac{{0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,000{\rm{s}}}} = \frac{{1,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,000{\rm{s}}}} = \frac{{2,250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,000{\rm{s}}}} = \frac{{3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4,000{\rm{s}}}} = 0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\]
An dieser Stelle wird nun der Begriff der "gleichmäßig" beschleunigten Bewegung deutlich: Die Geschwindigkeit wächst im Laufe der Zeit gleichmäßig, d.h. in jeder Sekunde um den gleichen Wert von \(0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) an.
Der Zeit-Geschwindigkeits-Graph liegt auf einer ansteigenden Geraden, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.
Die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion lautet \(v = 0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot t\).
Alle diese Eigenschaften sind typisch für sogenannte Proportionale Funktionen, die du im Mathematikunterricht bereits kennengelernt haben solltest. Da sich diese Eigenschaften bei jeder gleichmäßig beschleunigten Bewegung - lediglich mit anderen Zahlenwerten - zeigen, können wir sie zur Charakterisierung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung heranziehen:

Charakterisierung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt, wenn er sich auf einer geraden Linie bewegt und die seit dem Start der Bewegung erreichte Geschwindigkeit \(v\) proportional zu der seit dem Start der Bewegung vergangenen Zeit \(t\) ist. Dies erkennt man unter anderem daran, dass
in der Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle zur doppelten, dreifachen, ... Zeit die doppelte, dreifache, ... erreichte Geschwindigkeit gehört und deshalb für alle \((t|v)\)-Wertepaare der Quotient \(\frac{v}{t}\) aus erreichter Geschwindigkeit \(v\) und dafür benötigter Zeit \(t\) den selben Wert besitzt
der Zeit-Geschwindigkeits-Graph auf einer ansteigenden, durch den Ursprung des Koordinatensystems verlaufenden Geraden liegt
die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion die Form \(v = a \cdot t\) hat.

Nachdem wir nun wissen, was man sich unter einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung vorzustellen hat, wollen wir im weiteren untersuchen, wie man erfassen kann, ob ein Körper "stärker" oder "schwächer" beschleunigt; es geht also um den Begriff der "Beschleunigung". Dazu zeichnen wir die Bewegungen von drei unterschiedlich "beschleunigten" Körpern auf - der mittlere Körper beschleunigt genau so wie unser bekannter Körper, der obere stärker und der untere schwächer -  und werten die drei Bewegungen genau wie oben aus: zuerst untersuchen wir die Zeit-Weg-Diagramme:

   

Die Auswertung der drei Bewegungen in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

Der Zeit-Weg-Graph des stärker beschleunigten Körpers ist eine enger geöffnete Parabel und der des schwächer beschleunigten Körpers eine weiter geöffnete Parabel als die des mittleren bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Öffnungsfaktor der Parabel um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.
Außerdem unterschieden sich auch die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion voneinander; die des stärker beschleunigten lautet \(s = 0,500\frac{\rm{m}}{\rm{s^2}} \cdot t^2\) und die des schwächer beschleunigten \(s = 0,250\frac{\rm{m}}{\rm{s^2}} \cdot t^2\) gegenüber der Gleichung \(s = 0,375\frac{\rm{m}}{\rm{s^2}} \cdot t^2\) unseres bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Öffnungsfaktor der Funktion um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.

Allerdings wird hier noch nicht die genaue Bedeutung des Öffnungsfaktors der Parabel bzw. der quadratischen Funktion deutlich; deshalb untersuchen wir nun die Zeit-Geschwindigkeits-Diagramme:

   

Die Auswertung der drei Bewegungen in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

In der Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle sieht man, dass der stärker beschleunigte Körper nach z.B. \(1,000\rm{s}\) eine Geschwindigkeit von \(1,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) erreicht hat, der mittlere Körper in der gleichen Zeit eine Geschwindigkeit von \(0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und der schwächer beschleunigte Körper in der gleichen Zeit eine Geschwindigkeit von \(0,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Ein stärker beschleunigter Körper erreicht also in der gleichen Zeit eine größere Geschwindigkeit zurück als ein schwächer beschleunigter.
Dies bedeutet aber auch, dass sich für die verschieden stark beschleunigten Körper für die jeweiligen \((t|v)\)-Wertepaare unterschiedlich große Quotienten \(\frac{v}{t}\) aus erreichter Geschwindigkeit \(v\) und dafür benötigter Zeit \(t\) ergeben; Es ergibt sich in unserem Beispiel für den stärker beschleunigten Körper
\[\frac{v}{t} = \frac{{1,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,000{\rm{s}}}} = \frac{{2,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,000{\rm{s}}}} = \frac{{3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,000{\rm{s}}}} = \frac{{4,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4,000{\rm{s}}}} = 1,000\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
für den mittleren Körper
\[\frac{v}{t} = \frac{{0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,000{\rm{s}}}} = \frac{{1,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,000{\rm{s}}}} = \frac{{2,250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,000{\rm{s}}}} = \frac{{3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4,000{\rm{s}}}} = 0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
und für den schwächer beschleunigten Körper
\[\frac{v}{t} = \frac{{0,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,000{\rm{s}}}} = \frac{{1,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,000{\rm{s}}}} = \frac{{1,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,000{\rm{s}}}} = \frac{{2,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4,000{\rm{s}}}} = 0,500\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Man kann also erkennen, dass der Quotient \(\frac{v}{t}\) um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.
Weiter kann man sehen, dass der Zeit-Geschwindigkeits-Graph des stärker beschleunigten Körpers steiler und der des schwächer beschleunigten Körpers flacher verläuft als der des mittleren bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Steigungsfaktor der Geraden um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.
Schließlich unterschieden sich auch die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion voneinander; die des stärker beschleunigten Körpers lautet \(v = 1,000\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot t\) und die des schwächer beschleunigten Körpers \(v = 0,500\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot t\) gegenüber der Gleichung \(v = 0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot t\) unseres bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Proportionalitätsfaktor der Funktion um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.
Alle diese Eigenschaften zeigen, dass der Wert des Quotienten \(\frac{v}{t}\) scheinbar ein gutes Maß dafür ist, ob ein Körper stärker oder schwächer beschleunigt: bei einem großen Wert von \(\frac{v}{t}\) beschleunigt der Körper stärker, bei einem kleineren Wert schwächer. Somit liegt folgende Definition des Begriffs der Beschleunigung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung nahe:

Beschleunigung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung

Bewegt sich ein Körper gleichmäßig beschleunigt, dann bezeichnet man den Quotienten \(\frac{v}{t}\) aus der seit dem Beginn der Bewegung erreichten Geschwindigkeit \(v\) und der seit Beginn der Bewegung verstrichenen Zeit \(t\) als die Beschleunigung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Mit dem Formelbuchstaben \(a\) für die Beschleunigung (accelerare (lat.): beschleunigen) ergibt sich so
\[a = \frac{v}{t}\]
Für die Einheit \(\left[ a \right]\) der Beschleunigung ergibt sich durch die Definition
\[\left[ a \right] = \frac{{\left[ v \right]}}{{\left[ t \right]}} = \frac{{1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{\rm{s}}}} = 1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\;\;\left( {\rm{lies:\;"Meter\;pro\;Sekundenquadrat"}} \right)\]

Hinweis: Diese Definition gilt nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0{\rm{s}}\) beginnt und der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Geschwindigkeit hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.

Bemerkenswert ist nun folgendes: Der von uns oben angesprochene Öffnungsfaktor \(k\) in der Zeit-Weg-Funktion ist immer genau die Hälfte der Beschleunigung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Dies werden wir später noch explizit notieren.

Um Rechenaufgaben zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung bearbeiten zu können, benötigt man - wie bei allen anderen physikalischen Themen auch - die berüchtigten "Formeln". Diese Formeln sind aber letzten Endes nur die in mathematischen Symbolen konzentrierten Erkenntnisse, die man durch Experimente und Überlegungen gewonnen hat, sogenannte Physikalische Gesetze. Wir wollen an dieser Stelle unsere Erkenntnisse zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Form von Formeln zusammenfassen.

Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Bewegt sich ein Körper gleichmäßig beschleunigt, dann gilt:
Die Beschleunigung \(a\) des Körpers ist während der gesamten Bewegung konstant: \(a = \rm{konstant}\). Man berechnet diese Beschleunigung \(a\), indem man für eine beliebige seit dem Start der Bewegung erreichte Geschwindigkeit \(v\) diese durch die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit \(t\) dividiert: \(a = \frac{v}{t}\).
Ist \(a\) die Beschleunigung des Körpers, \(t\) die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit und \(v\) die seit dem Start der Bewegung erreichte Geschwindigkeit, so gilt für den Zusammenhang zwischen diesen drei Größen das sogenannte Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung
\[v = a \cdot t\]
Ist \(a\) die Beschleunigung des Körpers, \(t\) die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit und \(s\) die seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke, so gilt für den Zusammenhang zwischen diesen drei Größen das sogenannte Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung
\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}\]

Hinweis: Diese Zusammenhänge gelten nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0\rm{s}\) beginnt, der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Strecke zurückgelegt und noch keine Geschwindigkeit hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.

 

Aufgaben

a)

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt und erreicht in der Zeit \(12,0{\rm{s}}\) eine Geschwindigkeit von \(72,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Berechne die Beschleunigung \(a\) des Körpers.

b)

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \(15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}\). Berechne die Geschwindigkeit \(v\), die der Körper nach der Zeit \(6,0{\rm{s}}\) erreicht hat.

c)

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \({\rm{5,0}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}\). Berechne die Zeit \(t\), die der Körper bis zum Erreichen der Geschwindigkeit \(45\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) benötigt.

d)

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \(15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}\). Berechne die Strecke \(s\), die der Körper nach der Zeit \(6,0{\rm{s}}\) zurückgelegt hat.

e)

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \({\rm{5,0}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}\). Berechne die Zeit \(t\), die der Körper zum Zurücklegen der Strecke \(160\rm{m}\) benötigt.

Während des Beschleunigungsvorgangs eines Autos ändert sich die Beschleunigung z.B. durch das Hochdrehen des Motors und die Schaltvorgänge ständig; im mittleren Drehzahlbereich des Motors ist die Beschleunigung stärker, im niedrigen und hohen Drehzahlbereich dagegen schwächer, und während des Kupplungsvorgangs findet gar keine Beschleunigung statt. Es liegt hier also keine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor; dennoch spricht man auch hier von einer Beschleunigung, der sogenannten mittleren Beschleunigung (auch: Durchschnittsbeschleunigung).

   

In der Animation bewegt sich keiner der drei Körper gleichmäßig beschleunigt, alle drei haben jedoch nach der gleichen Zeitspanne \(t = 4,000{\rm{s}}\) die gleiche Geschwindigkeit \(v = 3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) erreicht (allerdings nicht die gleiche Strecke zurückgelegt!). Ein Körper, der sich gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung \(a = \frac{{3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4,000{\rm{s}}}} = 0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) bewegt hätte, hätte in der gleichen Zeitspanne die gleiche Geschwindigkeit erreicht; seine Beschleunigung nennt man die mittlere Beschleunigung der verschiedenen (nicht gleichmäßig beschleunigten) Bewegungen in der Animation. Es liegt nun folgende Definition auf der Hand:

Mittlere Beschleunigung (auch: Durchschnittsbeschleunigung) bei einer nicht gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Bewegt sich ein Körper nicht gleichmäßig beschleunigtg, dann bezeichnet man den Quotienten \(\frac{v}{t}\) aus der seit dem Beginn der Bewegung erreichten Geschwindigkeit \(v\) und der seit Beginn der Bewegung verstrichenen Zeit \(t\) als die mittlere Beschleunigung (auch: Durchschnittsbeschleunigung) der nicht gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Mit dem Formelbuchstaben \({\bar a}\) für die mittlere Beschleunigung (accelerare (lat.): beschleunigen) ergibt sich so
\[\bar a = \frac{v}{t}\]
Für die Einheit \(\left[{\bar a} \right]\) der mittleren Beschleunigung ergibt sich durch die Definition (genau wie bei der Beschleunigung \(a\) der gleichmäßig beschleunigten Bewegung)
\[\left[ {\bar a} \right] = \frac{{\left[ v \right]}}{{\left[ t \right]}} = \frac{{1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{\rm{s}}}} = 1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\;\;\left( {{\rm{lies:\;"Meter\;pro\;Sekundenquadrat"}}} \right)\]

Hinweis: Diese Definition gilt nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0{\rm{s}}\) beginnt und der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Geschwindigkeit hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.

Wie groß die Beschleunigung eines Fahrzeugs ist, spielt im Straßenverkehr keine große Rolle; viel wichtiger ist, wie schnell ein Fahrzeug in einer Gefahrensituation wieder zum Stillstand kommt. Die zugehörige Bewegungsform bezeichnen wir im Alltag als "Bremsen", in der Physik als "Verzögern". Diese Bewegungsform ist allerdings physikalisch nur ein besonderer Fall der Beschleunigung, nämlich der mit einer negativen Beschleunigung. Wir wollen direkt an dieser Stelle aber wieder bemerken, dass wir uns nur mit der sogenannten "gleichmäßig verzögerten Bewegung" beschäftigen werden, d.h. einer verzögerten Bewegung, bei der die Verzögerung konstant ist.

gleichförmige Bewegung

gleichmäßig beschleunigte Bewegung

gleichmäßig verzögerte Bewegung

Der für uns an dieser Stelle entscheidende Unterschied zwischen einer gleichmäßig beschleunigten und einer gleichmäßig verzögerten Bewegung ist der, dass der gleichmäßig beschleunigte Körper aus der Ruhe heraus immer schneller, der gleichmäßig verzögerte Körper dagegen aus einer Anfangsgeschwindigkeit heraus immer langsamer wird, bis er schließlich ruht. Mathematisch gesehen wird die Beschreibung der gleichmäßig verzögerten Bewegung insbesondere wegen der Anfangsgeschwindigkeit, die die gesamte Bewegung beeinflusst, etwas komplizierter.

Wir werden im folgenden eine gleichmäßig verzögerte Bewegung in der bekannten Art und Weise analysieren, indem wir die Zeit-Weg-Tabelle, den Zeit-Weg-Graph und die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion betrachten.

Hinweis für Fortgeschrittene: Normalerweise wird auf dem Maßstab nicht die vom Körper seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\), sondern dessen momentaner Ort \(x\) gemessen. Da die hier dargestellte Bewegung aber nur in einer Richtung stattfindet und sich der Körper zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\) am Ort \(x=0\rm{m}\) befindet, stimmen zurückgelegte Strecke und Ort überein.

   
Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:
Der Zeit-Weg-Graph liegt auf einer nach unten geöffneten Parabel, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft, dort aber bereits eine Steigung hat.
Die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion lautet \(s = -0,375\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot {t^2} + 3,000\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t\).
Auch bei der gleichmäßig verzögerten Bewegung ist es interessant, die Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle, den Zeit-Geschwindigkeits-Graph und die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion zu betrachten.
   
Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:
Der Zeit-Geschwindigkeits-Graph liegt auf einer abfallenden Geraden, die als Ordinatenabschnitt die Anfangsgeschwindigkeit hat.
Die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion lautet \(v = -0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot t + 3,000\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).
 

Bewegungsgesetze der gleichmäßig verzögerten Bewegung

Bewegt sich ein Körper gleichmäßig verzögert, dann gilt:
Die Beschleunigung \(a\) des Körpers ist während der gesamten Bewegung konstant: \(a = \rm{konstant}\) und negativ; man bezeichnet die Beschleunigung hier als Verzögerung.
Ist \(a\) die Verzögerung des Körpers, \(t\) die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(v\) die Geschwindigkeit, die der Körper nach der Zeit \(t\) noch besitzt, so gilt für den Zusammenhang zwischen diesen Größen das sogenannte Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung
\[v = a \cdot t + {v_0}\;;\;a < 0\]
Ist \(a\) die Verzögerung des Körpers, \(t\) die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(s\) die seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke, so gilt für den Zusammenhang zwischen diesen Größen das sogenannte Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung
\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t\;;\;a < 0\]
Hinweis: Diese Zusammenhänge gelten nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0\rm{s}\) beginnt und der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Strecke zurückgelegt hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.
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