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Grundwissen

Gleichmäßig verzögerte Bewegung

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Wie groß die Beschleunigung eines Fahrzeugs ist, spielt im Straßenverkehr keine große Rolle; viel wichtiger ist, wie schnell ein Fahrzeug in einer Gefahrensituation wieder zum Stillstand kommt. Die zugehörige Bewegungsform bezeichnen wir im Alltag als "Bremsen", in der Physik als "Verzögern". Diese Bewegungsform ist allerdings physikalisch nur ein besonderer Fall der Beschleunigung, nämlich der mit einer negativen Beschleunigung. Wir wollen direkt an dieser Stelle aber wieder bemerken, dass wir uns nur mit der sogenannten "gleichmäßig verzögerten Bewegung" beschäftigen werden, d.h. einer verzögerten Bewegung, bei der die Verzögerung konstant ist.

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Abb. 1 Gleichmäßig verzögerte Bewegung. Die Spur markiert den Ort des Körpers im Abstand von \(\Delta t = 0,25\rm{s}\)

Der für uns an dieser Stelle entscheidende Unterschied zwischen einer gleichmäßig beschleunigten und einer gleichmäßig verzögerten Bewegung ist der, dass der gleichmäßig beschleunigte Körper aus der Ruhe heraus immer schneller, der gleichmäßig verzögerte Körper dagegen aus einer Anfangsgeschwindigkeit heraus immer langsamer wird, bis er schließlich ruht. Mathematisch gesehen wird die Beschreibung der gleichmäßig verzögerten Bewegung insbesondere wegen der Anfangsgeschwindigkeit, die die gesamte Bewegung beeinflusst, etwas komplizierter.

Wir werden im folgenden eine gleichmäßig verzögerte Bewegung in der bekannten Art und Weise analysieren, indem wir die Zeit-Weg-Tabelle, den Zeit-Weg-Graph und die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion betrachten.

Hinweis für Fortgeschrittene: Normalerweise wird auf dem Maßstab nicht die vom Körper seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\), sondern dessen momentaner Ort \(x\) gemessen. Da die hier dargestellte Bewegung aber nur in einer Richtung stattfindet und sich der Körper zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\) am Ort \(x=0\rm{m}\) befindet, stimmen zurückgelegte Strecke und Ort überein.

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Abb. 2 Darstellung einer gleichmäßig verzögerten Bewegung und deren Beschreibung durch t-s-Tabelle, t-s-Graph und t-s-Term
Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:
Der Zeit-Weg-Graph liegt auf einer nach unten geöffneten Parabel, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft, dort aber bereits eine Steigung hat.
Die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion lautet \(s = -0,375\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot {t^2} + 3,000\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t\).
Auch bei der gleichmäßig verzögerten Bewegung ist es interessant, die Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle, den Zeit-Geschwindigkeits-Graph und die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion zu betrachten.
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Abb. 3 Darstellung einer gleichmäßig verzögerten Bewegung einschließlich der Momentangeschwindigkeit und deren Beschreibung durch t-v-Tabelle, t-v-Graph und t-v-Term
Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:
Der Zeit-Geschwindigkeits-Graph liegt auf einer abfallenden Geraden, die als Ordinatenabschnitt die Anfangsgeschwindigkeit hat.
Die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion lautet \(v = -0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot t + 3,000\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).
Bewegungsgesetze der gleichmäßig verzögerten Bewegung
Bewegt sich ein Körper gleichmäßig verzögert, dann gilt:
Die Beschleunigung \(a\) des Körpers ist während der gesamten Bewegung konstant: \(a = \rm{konstant}\) und negativ; man bezeichnet die Beschleunigung hier als Verzögerung.
Ist \(a\) die Verzögerung des Körpers, \(t\) die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(v\) die Geschwindigkeit, die der Körper nach der Zeit \(t\) noch besitzt, so gilt für den Zusammenhang zwischen diesen Größen das sogenannte Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung
\[v = a \cdot t + {v_0}\;;\;a < 0\]
Ist \(a\) die Verzögerung des Körpers, \(t\) die seit dem Start der Bewegung vergangene Zeit, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(s\) die seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke, so gilt für den Zusammenhang zwischen diesen Größen das sogenannte Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung
\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t\;;\;a < 0\]
Hinweis: Diese Zusammenhänge gelten nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0\rm{s}\) beginnt und der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Strecke zurückgelegt hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.