Elektromagnetische Schwingungen

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Schwingungen

  • Aus welchen Bauteilen besteht ein elektromagnetischer Schwingkreis?
  • Wie lautet die THOMSON-Formel?
  • Wo bleibt die Energie eines gedämpften Schwingkreises?
Weniger anzeigen

Aus dem Mechanik-Unterricht können Sie sich vielleicht noch an die Behandlung mechanischer Schwingungen erinnern. Im Folgenden werden die schwingungsfähigen mechanischen und elektromagnetischen Systeme gegenübergestellt.
Dabei gehört die unter c) dargestellte "freie, ungedämpfte Schwingung" zum Pflichtstoff. Die in a) und b) dargestellten Fälle sind zwar praxisnäher, aber weniger für das G8-Gymnasium gedacht.

a) Schwingung mit Dämpfung und äußerer Anregung - nur für Experten

Auf einer rauen Unterlage kann ein zwischen zwei Federn eingespannter Körper schwingen. Von außen wird die Kraft \({F_a}\) aufgeprägt, der Körper bewege sich gerade nach rechts.

Für die resultierende Kraft gilt dann:
\[{F_{res}} = {F_a} - {F_f} - {F_r}\]
Mit Hilfe der Differentialrechnung kann man auch schreiben:
\[\begin{array}{l}m \cdot \ddot x = {F_a} - D \cdot x - k \cdot \dot x \Rightarrow \\{F_a} = m \cdot \ddot x + D \cdot x + k \cdot \dot x\end{array}\]
Differentialgleichung der gedämpften, mechanischen Schwingung mit von außen aufgeprägter Kraft \({F_a}\)

Spule, Kondensator und Widerstand sind wie skizziert zusammengeschaltet. Von außen wird die Spannung \(U(t)\) aufgeprägt.

Zwischen den Spannungen gilt die Beziehung:
\[U(t) = {U_L} + {U_C} + {U_R}\quad(1)\]
Mit Hilfe der ausführlicheren Darstellung der Teilspannungen folgt:
\[U(t) = L \cdot \dot I + \frac{Q}{C} + R \cdot I\]
Es gilt der Zusammenhang zwischen Ladung und Strom:
\(I = \dot Q\) und somit auch \(\dot I = \ddot Q \quad(2)\)
Setzt man (2) in (1), so erhält man:
\[U(t) = L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} + R \cdot \dot Q\]
Differentialgleichung der gedämpften, elektromagnetischen Schwingung mit von außen aufgeprägter Spannung



b) Schwingung mit Dämpfung ohne äußerer Anregung (freie gedämpfte Schwingung) - nur für Experten

Entfällt die äußere Kraft, so vereinfacht sich die Differentialgleichung zu:
\[m \cdot \ddot x + D \cdot x + k \cdot \dot x = 0\]
Differentialgleichung der freien, gedämpften mechanischen Schwingung

Hinweis: Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

Wird von außen keine Spannung aufgeprägt, so vereinfacht sich die Differentialgleichung zu:
\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} + R \cdot \dot Q = 0\]
Differentialgleichung der freien, gedämpften elektromagnetischen Schwingung

Hinweis: Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

Die Lösung dieser Differentialgleichung stellt höhere Anforderungen an die Kenntnisse in Mathematik und ist deshalb meist nicht Pflichtstoff. Für besonders interessierte Schülerinnen und Schüler bieten wir hier diese Lösung an.

Lösung der Differentialgleichung zur gedämpften elektromagnetischen Schwingung

Die Lösung der Differentialgleichung für die ungedämpfte, elektromagnetische Schwingung gehört meist nicht zum Pflichtpensum. Vielleicht interessiert Sie aber der etwas langwierige, rechnerische Weg.

Differentialgleichung:
\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} + R \cdot \dot Q = 0 \quad(1)\]
Lösungsansatz:
\[Q(t) = \hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad(2)\]
Differenzieren des Lösungsansatzes:
1. Ableitung:
\[\dot Q(t) =  - \hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\left[ {\delta  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + \omega  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right]\]
2. Ableitung:
\[\ddot Q(t) = \hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\left[ {{\delta ^2} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + 2 \cdot \omega  \cdot \delta  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) - {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right]\]
Setzt man die beiden Ableitungen und den Lösungsansatz in die Differentialgleichung \((1)\) ein und sortiert nach Gliedern, welche den Sinus bzw. Kosinus enthalten, so erhält man
\[\hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\left[ {\left( {L \cdot {\delta ^2} - L \cdot {\omega ^2} - R \cdot \delta  + \frac{1}{C}} \right) \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + \left( {2 \cdot L \cdot \omega  \cdot \delta  - R \cdot \omega } \right)\sin \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right] = 0\]
Zunächst lässt sich diese Gleichung durch den von Null verschiedenen Faktor vor der Klammer kürzen:
\[\left( {L \cdot {\delta ^2} - L \cdot {\omega ^2} - R \cdot \delta  + \frac{1}{C}} \right) \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + \left( {2 \cdot L \cdot \omega  \cdot \delta  - R \cdot \omega } \right)\sin \left( {\omega  \cdot t} \right) = 0\]
Die linke Seite der Gleichung ist dauerhaft nur Null, wenn die beiden Faktoren vor dem Kosinus und dem Sinus Null sind: Der Faktor beim Sinus wird Null, wenn
\[2 \cdot L \cdot \omega  \cdot \delta  - R \cdot \omega  = 0 \Leftrightarrow \delta  = \frac{R}{{2 \cdot L}}\]
Der Faktor beim Kosinus wird Null, wenn
\[L \cdot {\delta ^2} - L \cdot {\omega ^2} - R \cdot \delta  + \frac{1}{C} = 0 \Leftrightarrow {\omega ^2} = {\delta ^2} - \frac{R}{L} \cdot \delta  + \frac{1}{{L \cdot C}}\]
Mit der obigen Beziehung für \(\delta\) ergibt sich
\[{\omega ^2} = {\left( {\frac{R}{{2 \cdot L}}} \right)^2} - \frac{R}{L} \cdot \frac{R}{{2 \cdot L}} + \frac{1}{{L \cdot C}} =  - \frac{{{R^2}}}{{4 \cdot {L^2}}} + \frac{1}{{L \cdot C}}\]
und schließlich
\[\omega  = \sqrt {\frac{1}{{L \cdot C}} - \frac{{{R^2}}}{{4 \cdot {L^2}}}} \]

c) Schwingung ohne Dämpfung und äußerer Anregung (freie ungedämpfte Schwingung)


 
Nun wird die Differentialgleichung besonders einfach:

\[m \cdot \ddot x + D \cdot x = 0\quad(1)\]

Differentialgleichung der freien, ungedämpften mechanischen Schwingung

Hinweis: Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

  Befindet sich kein ohmscher Widerstand im Kreis, so gilt:

\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} = 0\quad(1)\]

Differentialgleichung der freien, ungedämpften elektromagnetischen Schwingung

Hinweis: Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

Lösungsansatz:
\[x(t) = \hat x \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(2)\]
  Lösungsansatz:
\[Q(t) = \hat Q \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(2)\]
Durch Differenzieren von (2) erhält man:
\[\dot x(t) =  - \hat x \cdot \omega  \cdot \sin (\omega  \cdot t)\] und
\[\ddot x(t) =  - \hat x \cdot {\omega ^2} \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(3)\]
  Durch Differenzieren von (2) erhält man:
\[\dot Q(t) =  - \hat Q \cdot \omega  \cdot \sin (\omega  \cdot t)\] und
\[\ddot Q(t) =  - \hat Q \cdot {\omega ^2} \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(3)\]
Setzt man (2) und (3) in die Differentialgleichung (1) ein, so folgt:
\[m \cdot \left( { - \hat x \cdot {\omega ^2} \cdot \cos (\omega  \cdot t)} \right) + D \cdot \left( {\hat x \cdot \cos (\omega  \cdot t)} \right) = 0\]
\[\hat x \cdot \cos (\omega  \cdot t) \cdot \left( { - m \cdot {\omega ^2} + D} \right) = 0\quad(4)\]
  Setzt man (2) und (3) in die Differentialgleichung (1) ein, so folgt:
\[L \cdot \left( { - \hat Q \cdot {\omega ^2} \cdot \cos (\omega  \cdot t)} \right) + \frac{{\hat Q \cdot \cos (\omega  \cdot t)}}{C} = 0\]
\[\hat Q \cdot \cos (\omega  \cdot t) \cdot \left( { - L \cdot {\omega ^2} + \frac{1}{C}} \right) = 0\quad(4)\]
Die linke Seite der Gleichung (4) wird nur dann ständig gleich Null sein, wenn gilt:
\[ - m \cdot {\omega ^2} + D = 0\]
\[\omega  = \sqrt {\frac{D}{m}}\quad(5)\]
  Die linke Seite der Gleichung (4) wird nur dann ständig gleich Null sein, wenn gilt:
\[ - L \cdot {\omega ^2} + \frac{1}{C} = 0\]
\[{\omega  = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }}}\quad(5)\]

Gleichung (5) wird als Thomson-Formel bezeichnet. Sie gestatten die Berechnung der Frequenz in einem Schwingkreis aus der Kapazität des Kondensators und der Induktivität der Spule.

Eine Lösung der Differentialgleichung lautet somit:
\[x(t) = \hat x \cdot \cos (\sqrt {\frac{D}{m}}  \cdot t)\]
  Eine Lösung der Differentialgleichung lautet somit:
\[Q(t) = \hat Q \cdot \cos (\frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \cdot t)\]

Ein Vergleich des mechanischen mit dem elektromagnetischen Fall zeigt:

  • Gleichartig strukturierte Differentialgleichungen führen zu den gleich strukturierten Lösungen ("the same equations, the same solutions")
  • Es gelten offenbar die folgenden Entsprechungen:

\[{F_a} \to U(t)\]

\[x \to Q\]

\[v \to I\]

\[a \to \dot I\]

\(m \to L\)

\(D \to \frac{1}{C}\)

\(k \to R\)

 

Die Spule übernimmt die Funktion der trägen Masse

der Kondensator die Funktion der Feder und

der Widerstand die Funktion der geschwindigkeitsabhängigen Reibung.

 

Druckversion
RSS - Elektromagnetische Schwingungen abonnieren