Ermittle durch Rechnung, wie viele Linien der BALMER-Serie des Wasserstoffatoms im sichtbaren Bereich \(400{\rm{nm}} \le \lambda \le 750{\rm{nm}}\) liegen. (11 BE)
Zwei dieser Linien haben die Wellenlänge \({\lambda _1} = 486{\rm{nm}}\) und \({\lambda _2} = 656{\rm{nm}}\). Blickt man durch ein Gitter, welches im Abstand \(L = 75{\rm{cm}}\) vor der Kapillare K einer Wasserstoffentladungsröhre und einem unmittelbar hinter K befindlichen Maßstab aufgestellt ist, so kann man in den Entfernungen \(21{\rm{cm}}\) und \(29{\rm{cm}}\) von K die virtuellen Bilder der Kapillare (1. Ordnung) in den Farben dieser Wellenlängen beobachten.
b)
Ordne den virtuellen Bildern die Wellenlängen zu. (4 BE)
c)
Berechne die Gitterkonstante \(g\) des verwendeten Gitters. (7 BE)
d)
Zeige anhand eines Termschemas, wie aus den beiden Wellenlängen \({\lambda _1}\), und \({\lambda _2}\) eine weitere Linie des Wasserstoffspektrums berechnet werden kann.
Gib deren Wellenlänge sowie den zugehörigen Spektralbereich an. (8 BE)
Da die Linien mit größerer Wellenlänge ihre Nebenmaxima in größerem Abstand vom Hauptmaximum haben, muss die größere Wellenlänge von \(656\rm{nm}\) zum größeren Abstand von \(29\rm{cm}\) gehören. Die kleinere Wellenlänge von \(486\rm{nm}\) gehört somit zum kleineren Abstand von \(21\rm{cm}\).
c)
Ist \(\alpha_2\) die Weite des Winkels, unter dem man z.B. das Maximum 1. Ordnung der größeren Wellenlänge \(\lambda_2 = 656\rm{nm}\) beobachtet, und \(g\) die Gitterkonstante des Gitters, so lautet die Bedingung für ein Maximum beim Gitter\[\lambda_2 = g \cdot \sin \left( \alpha_2 \right) \Leftrightarrow g = \frac{\lambda_2 }{{\sin \left( \alpha_2 \right)}} \quad(1)\]Ist weiter \(a_{2,1}\) der Abstand des virtuellen Bildes zur Kapillare für diese Wellenlänge, so erhält man\[\tan \left( {{\alpha _2}} \right) = \frac{{{a_{2}}}}{L} \Rightarrow {\alpha _2} = \arctan \left( {\frac{{{a_{2}}}}{L}} \right)\quad(2)\]Einsetzen von \((2)\) in \((1)\) liefert\[g = \frac{\lambda }{{\sin \left( {\arctan \left( {\frac{{{a_{2}}}}{L}} \right)} \right)}} \Rightarrow g = \frac{{656 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}}{{\sin \left( {\arctan \left( {\frac{{29{\rm{cm}}}}{{{\rm{75cm}}}}} \right)} \right)}} = 1,8 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\]