Quantenmech. Atommodell

Atomphysik

Quantenmech. Atommodell

  • Was versteht man unter einem Potentialtopf?
  • Warum spricht man von Orbitalen?
  • Welche Ergebnisse liefert die SCHRÖDINGER-Gleichung?

Nach der Schrödingergleichung gibt es verschiedene stationäre Zustände des Atoms, die sich durch vier verschiedene Quantenzahlen ausdrücken lassen:

  Bezeichnung Bedingung Bemerkung
n Hauptquantenzahl \[n \in \mathbb{N}\] Die Hauptquantenzahl n bestimmt im wesentlichen die Energie En des beschriebenen Zustands
l Nebenquantenzahl l = 0; 1; 2; . . . (n-1) Die Nebenquantenzahl beschreibt den Betrag des Bahndrehimpulses. Oft werden für die Nebenquantenzahl auch Buchstaben verwendet: l = 0: s ; l = 1: p ; l = 2: d und l = 3: f.
m Magnetische Quantenzahl -l ≤ m ≤ +l Quantenzahl für die z-Komponente des Drehimpulses
s Spin-Quantenzahl s = +½;  s = -½ Quantenzahl für den Eigendrehimpuls eines Elektrons

Entwickle eine übersichtliche Tabelle, mit der die Zahl der möglichen Elektronenzustände für die Hauptquantenzahlen n =1, n = 2 und n = 3 unter Berücksichtigung der oben aufgeführten Bedingungen ermittelt werden kann.

Jeder Quantenzahlkombination lässt sich demnach eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit zuordnen. Solche Aufenthaltswahrscheinlichkeiten kann man auf verschiedene Weise darstellen:

a) Als radiale Funktion, dabei ist \({r_0}\) der bohrsche Radius, \(\bar r\) der mittlere Radius und \(W\left( r \right)\) der Verlauf der potentiellen Energie.

 

Grundzustand: n = 1;
1. Anregungszustand: n = 2;
2. Anregungszustand: n = 3; 
 l = 0
z.B.: l = 0
z.B.: l = 0

Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit im 1s-Zustand


 

Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit im 2s-Zustand

Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit im 3s-Zustand

b) Als flächig dargestellte Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die rechte Darstellung zeigt, dass es für die verschiedenen Quantenzahlen sehr unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt:

  • Für n = 1 gibt es nur die 1s-Verteilung mit m = 0.
  • Für n = 2 gibt es die 1s- und drei im Raum verschieden orientierte 2p - Verteilungen. Von den drei 2p-Verteilungen ist nur diejenige mit m = 0 dargestellt.
  • Für n = 3 gibt es eine 3s-, drei 3p- und fünf 3d-Verteilungen. Von den 3s- und 3d-Verteilungen ist jeweils nur diejenige mit m = 0 dargestellt.


Die Hauptquantenzahl n gibt an, wie viele Knotenflächen die der Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrundeliegende Wellenfunktion hat, die Nebenquantenzahl l gibt den "Symmetriegrad" der Knotenflächen an und die magnetische Quantenzahl m die Orientierung im Raum.

c) Räumliche Darstellung (die Abbildungen stammen von Gerhard März vom Friedrich König Gymnasium, Würzburg)


n = 1; l = 0; m = 0
 
 
 
 
 

n = 2; l = 0; m = 0

n = 2; l = 1; m = 0

n = 2; l = 1; m = 1
 
 
 

n = 3; l = 0; m = 0

n = 3; l = 1; m = 0

n = 3; l = 1; m = 1

n = 3; l = 2; m = 0

n = 3; l = 2; m = 1

n = 3; l = 2; m = 2

Auswahl einiger gut aufbereiteter Seiten zu den Orbitalen im Internet:

  • Eine methodisch und graphisch hervorragend aufgemachte Darstellung von flächigen und räumlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen findet man im Hydrogen-Lab der Didaktik der Uni Karlsruhe. Auf dieser Seite kann man sich die Orbitale flächig und räumlich ansehen und auch wie bei einer Computertomographie durch das Atom hindurchgehen. Auch sind die Übergänge des Atoms von einem in den anderen Zustand in Videos bzw. Animationen dargestellt, die man auch herunterladen kann.
  • Außerdem bietet P.Bronner (Uni Karsruhe) für die Sekundarstufe 1 eine sehr schüleraktivierende neunstündige Unterrichtseinheit zum Thema Atomvorstellung unter dem Titel "Elektronium" an.


  • Rechtsstehende farblich auffallenden Orbitaldarstellungen und weitere ansprechende Darstellungen zur Quantenphysik finden sie auf der Seite Visual Quantum Mechanic von Bernd Thaller

 
 


  • Das Teilchen (Elektron) befindet sich in einem Topf (nur eine Dimension x) mit dem Durchmesser a.
  • Im Inneren des Topfes ist die potentielle Energie Null:

Epot(x) = 0 für 0 < x < a.

  • Am Topfrand steigt das Potential sprunghaft auf den Wert Unendlich an:

Epot(x) = ∞ für x < 0 und x > a.

Dies bedeutet, dass das Teilchen (Elektron) nicht in die Topfwand eindringen kann, da dazu unendlich viel Arbeit notwendig wäre. Die Materiewelle wird also vollständig reflektiert. Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit P = |ψ(x)|2 außerhalb des Topfes 0 ist, muss auch ψ(x) dort Null sein. Dies bedeutet, dass ψ auch an den Topfrändern Null sein muss: ψ(0) = 0 und ψ(a) = 0.

Aufgabe:
Was ist an der nebenstehenden Veranschaulichung des Elektrons im Potentialtopf zu kritisieren?

Analogiebetrachtung:
Im Potentialtopf bilden sich stehende De-Broglie-Wellen oder Eigenschwingungen aus, wie Sie dies bei einer an ihren Enden fest eingespannten Saite kennen. Vielleicht erinnern Sie sich noch, dass bei den Eigenschwingungen einer Saite die Länge l der Saite ein Vielfaches der halben Wellenlänge war. Übertragen auf das "atomare Problem" heißt dies, dass auch der Durchmesser a des Potentialtopfs im Falle der Eigenschwingungen ein Vielfaches der halben De-Broglie-Wellenlänge ist:

\[a = n \cdot \frac{\lambda }{2}\;;\;\,n \in \mathbb{N} \Rightarrow \lambda  = \frac{{2 \cdot a}}{n};\;\,n \in \mathbb{N}\]

Mit der Beziehung von de Broglie ergibt sich die "Geschwindigkeit" und damit die kinetische Energie, die gleich der Gesamtenergie ist.

\[\lambda  = \frac{h}{p} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Rightarrow v = \frac{h}{{m \cdot \lambda }} = \frac{{h \cdot n}}{{2 \cdot m \cdot a}}\]

\[{E_{ges}} = {E_{pot}} + {E_{kin}} = 0 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot m \cdot {a^2}}} \cdot {n^2}\]

Setzt man in diese Formel für n die Werte 1; 2; 3, ...ein, so erhält man die Energieniveaus eines Elektrons im Potentialtopf

Anmerkungen:

1. Diese obige Rechnung versetzt uns nicht in die Lage, die Energieniveaus in einem Wasserstoffatom zu berechnen, da das Potential für das Elektron nicht so schlicht wie bei dem obigen Potentialtopf ist. Trotzdem zeigt die obige Betrachtung, dass sich bei geeigneten Randbedingungen (das Elektron ist in einem Potentialtopf eingesperrt) unter der Annahme einer Wellenfunktion diskrete Energiewerten für das Elektron ergeben.
2. Bei einigen Farbstoffmolekülen entspricht das Potential für das Elektron annähernd dem beim obigen linearen Potentialtopf. Wie entsprechende Aufgaben zeigen (z.B. Musteraufgabe - ß-Carotin) lassen sich damit die Größenordnungen von Energieübergängen abschätzen.

In der nebenstehenden Animation können Sie sich die Wellenfunktion Ψ(x) für verschiedene Schwingungsformen darstellen lassen (linke Animation, rote Linie).

Darüberhinaus sieht man auch den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit P ~ Ψ2(x) des Elektrons im Potentialtopf bei den verschiedenen Schwingungsformen (rechte Animation, violette Linie).




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