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Aufgabe

Linienspektrum des H-Atoms (Abitur BY 2006 GK A3-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die Serienformel für das Wasserstoff-Spektrum lautet\[\frac{1}{\lambda } = {R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right)\]wobei \({R_\infty }\) die Rydbergkonstante für das Wasserstoffatom ist.

a)Berechnen Sie die Frequenz des Lichts, das in H-Atomen beim Übergang des Elektrons aus der L- in die K-Schale entsteht. (5 BE)

b)Ermitteln Sie mit Hilfe der Serienformel die Ionisationsenergie für ein H-Atom, das sich im ersten angeregten Zustand befindet. (5 BE)

c)Fertigen Sie eine maßstabsgetreue Zeichnung der fünf niedrigsten Stufen im Energieniveauschema von Wasserstoff an. (5 BE)

d)Untersuchen Sie, für welchen Wert von \(n\) mehrere Spektrallinien im sichtbaren Bereich liegen.

Geben Sie an, wie diese Serie heißt.

Berechnen Sie für diese die Wellenlängen derjenigen zwei Übergänge, die zu den kleinsten Energiedifferenzen gehören. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)K-Schale: \(n = 1\); L-Schale: \(m= 2\)\[\frac{1}{{{\lambda _{21}}}} = {R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) = {R_\infty } \cdot \frac{3}{4} \Rightarrow {f_{21}} = \frac{3}{4} \cdot {R_\infty } \cdot c \Rightarrow {f_{21}} = \frac{3}{4} \cdot 1,097 \cdot {10^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot 2,99 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 2,47 \cdot {10^{15}}{\rm{Hz}}\]

b)Energie zwischen \(n= 2\) und \(m \to \infty \):\[{E_{{\rm{Ion}}}} = \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{\infty 2}}}} = h \cdot c \cdot {R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{\infty ^2}}}} \right) = \frac{{h \cdot c \cdot {R_\infty }}}{4}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_{{\rm{Ion}}}} = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1,097 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}}}}{4} = 3,40{\rm{eV}}\]

c)Man berechnet entweder die Bindungsenergien der \(n\)-ten Quantenbahn (Nullniveau beim Übergang zum Kontinuum) nach der Formel\[{{E'}_n} =  - \frac{{{R_\infty } \cdot h \cdot c}}{{{n^2}}}\]oder man bestimmt den Energiewert der \(n\)-ten Quantenbahn (Nullniveau bei \(n = 1\)) nach der Formel\[{E_n} = {R_\infty } \cdot h \cdot c \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\]Hierbei ergeben sich die Werte \({E_1} = 0{\rm{eV}}\), \({E_2} = 10,2{\rm{eV}}\), \({E_3} = 12,1{\rm{eV}}\), \({E_4} = 12,7{\rm{eV}}\) und \({E_5} = 13,1{\rm{eV}}\).

 

d)Beim Wasserstoff kommen sichtbare Spektrallinien nur bei der Balmerserie (\(n=2\)) vor. Die kleinsten Energiedifferenzen gehören dann zu \(m = 3\) bzw. \(m= 4\).

Die Berechnung der Wellenlängen erfolgt nach der allgemeinen Serienformel\[\frac{1}{\lambda } = {R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right)\]Für den Übergang von \(3\) nach \(2\) ergibt sich \({\lambda _{32}} = 656{\rm{nm}}\), für den Übergang von \(4\) nach \(2\) ergibt sich \({\lambda _{42}} = 486{\rm{nm}}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Atomphysik

Quantenmech. Atommodell