Quantenmech. Atommodell

Die von einer Kathode der Leuchtstoffröhre ausgehenden Elektronen regen die Quecksilberatome an. Beim Übergang vom Anregungszustand des Quecksilberatoms in den niedrigeren Energiezustand wird die beobachtete UV-Strahlung emittiert.

Joachim Herz Stiftung

Durch das elektrische Feld des Kerns ist ein Potentialverlauf vorgegeben, der extrem vereinfacht durch die Skizze dargestellt wird:

Ein Elektron befinde sich in einem Topf mit dem Durchmesser L. Im Topf sei die potentielle Energie des Elektrons Null. Am Topfrand steigt das Potential sprunghaft auf den Wert "Unendlich" an. Dies bedeutet, dass das Elektron nicht in die Topfwand eindringen kann. Im Topf bildet sich eine stehende Materiewelle des Elektrons aus, die mit der Eigenschwingung einer beidseitig eingespannten Saite zu vergleichen ist. Der Abstand zweier Schwingungsknoten ist λ_n/2. Also gilt:\[L = n \cdot \frac{{{\lambda _n}}}{2} \Leftrightarrow {\lambda _n} = \frac{{2 \cdot L}}{n}\quad(1)\]

Mit der Beziehung von de Broglie und der klassischen Energie-Impuls-Beziehung lässt sich dann die kinetische Energie, die bei diesem Modell gleich der Gesamtenergie ist, bestimmen:\[{p_n} = \frac{h}{{{\lambda _n}}} \Rightarrow {m_e} \cdot {v_n} = \frac{h}{{{\lambda _n}}} \Leftrightarrow {v_n} = \frac{h}{{{m_e} \cdot {\lambda _n}}}\]Mit \((1)\) ergibt sich\[{v_n} = \frac{{h \cdot n}}{{{m_e} \cdot 2 \cdot L}} \quad (2)\]Schließlich\[{E_n} = {E_{pot,n}} + {E_{kin,n}} \Rightarrow {E_n} = 0 + \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {\left( {\frac{{h \cdot n}}{{{m_e} \cdot 2 \cdot L}}} \right)^2} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {m_e} \cdot {L^2}}} \cdot {n^2}\]

Für den Grundzustand gilt: n₁ = 1, für den zweiten angeregten Zustand n₃ = 3. Somit gilt nach dem Energiesatz\[\frac{{h \cdot c}}{\lambda } = {E_3} - {E_1} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {m_e} \cdot {L^2}}} \cdot \left( {{3^2} - {1^2}} \right) = \frac{{{h^2}}}{{{m_e} \cdot {L^2}}} \Rightarrow L = \sqrt {\frac{{h \cdot \lambda }}{{{m_e} \cdot c}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[L = \sqrt {\frac{{6,626 \cdot 1{0^{ - 34}} \cdot 253 \cdot 1{0^{ - 9}}}}{{9,109 \cdot 1{0^{ - 31}} \cdot 2,998 \cdot 1{0^8}}}} {\rm{m}} \approx 7,83 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]

Berechnung der Energiewerte:\[{E_n} = \frac{{{h^2}}}{{8 \cdot {m_e} \cdot {L^2}}} \cdot {n^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_n} = \frac{{{{\left( {6,626 \cdot {{10}^{ - 34}}} \right)}^2}}}{{8 \cdot 9,109 \cdot 1{0^{ - 31}} \cdot {{\left( {7,8349 \cdot 1{0^{ - 10}}} \right)}^2} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}}}{\rm{eV}} \cdot {n^2} = 0,613\,{\rm{eV}} \cdot {n^2}\]Damit ergeben sich \({E_1} = 0,613\,{\rm{eV}}\), \({E_2} = 2,454\,{\rm{eV}}\) und \({E_3} = 5,521\,{\rm{eV}}\).

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\[\Delta E = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Leftrightarrow \lambda  = \frac{{h \cdot c}}{{\Delta E}}\]Damit ergeben sich\[{\lambda _{32}} = \frac{{4,136 \cdot 1{0^{ - 15}} \cdot 2,997 \cdot 1{0^8}}}{{3,06}}{\rm{m}} \approx 405\,{\rm{nm}}\]
sowie\[{\lambda _{21}} = \frac{{4,136 \cdot 1{0^{ - 15}} \cdot 2,997 \cdot 1{0^8}}}{{1,84}}{\rm{m}} \approx 675\,{\rm{nm}}\]Beide Wellenlängen liegen im sichtbaren Bereich.