Eine von SIMPSON vorgeschlagene Methode zur Messung von Molekülgeschwindigkeiten eines idealen Gases beruht auf dem freien Fall von Molekülen. In einem würfelförmigen Ofen befindet sich Cäsiumdampf bei einer Temperatur von 1700K.
Vereinfachend werde angenommen, dass sich die Cs-Atome nur mit Geschwindigkeiten parallel zu den Würfelflächen bewegen. Der Spalt S werde nun geöffnet, so dass Cs-Atome in Richtung der x-Achse senkrecht zum Gravitationsfeld (Richtung der z-Achse) in den evakuierten Raum zwischen Ofen und Detektorebene treten können.
a)
Atome, die den Ofen mit der Geschwindigkeit v verlassen, werden im Punkt D der Detektorebene registriert.
Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit v aus den Messdaten a und d her.
Das im Ofen erzeugte Cs-Gas haben nun die übliche Geschwindigkeitsverteilung.
b)
Zeigen Sie, dass für a = 1,00 m und d = 0,018 mm bei D gerade Cs-Atome nachgewiesen werden, die den Ofen mit der für die gegebene Temperatur typischen mittleren Geschwindigkeit <v> verlassen.
c)
Skizzieren Sie den Verlauf der auf der z-Achse aufgenommenen Intensitätsverteilung.
Geben Sie insbesondere an, wo Atome mit v größer <v> anzutreffen sind.
\(x\)-Komponente: Gleichförmige Bewegung:\[x = {v_{x}} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_{x}}}} \Rightarrow t_{\rm{F}} = \frac{a}{{{v_{x}}}} \quad(1)\]\(z\)-Komponente: Freier Fall:\[z = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Rightarrow d = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{F}}}^2 \quad(2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so erhält man für \(v_x\)\[{v_x} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{d}} \]
b)
Es gilt\[\overline v = 0,92 \cdot \sqrt {\overline {{v^2}} } \quad(3)\]und\[{{\bar E}_{kin}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{A}}} \cdot \overline {{v^2}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow \overline {{v^2}} = \frac{{3 \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T}}{{{m_{\rm{A}}}}}(4)\]Setzt man \((4)\) in \((3)\) ein, so gilt\[\overline v = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\overline v = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot 1700{\rm{K}}}}{{133 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}} = 5,2 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Diese Geschwindigkeit stellt die theoretisch berechenbare Geschwindigkeit dar.
Berechnung der Geschwindigkeit \(v_x\) aus den gegebenen Messdaten:\[{v_x} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot g}}{d}} \Rightarrow {v_x} = \frac{{1,00{\rm{m}}}}{2} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{0,018{\rm{m}}}}} = 5,2 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Gute Übereinstimmung von Mess- und Theoriewert!
c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zu Teil c)
Schnelle Atome durchlaufen die Strecke \(a\) in kürzerer Zeit als langsamere Atome. Die schnelleren Atome werden daher in \(z\)-Richtung weniger weit abgelenkt.
Da die mittlere Geschwindigkeit bei der Maxwell-Verteilung größer ist als die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, befindet sich der Punkt D oberhalb von W.
W: Ort an dem die Teilchen mit der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit auftreffen.
D: Ort an dem die Teilchen mit der mittleren Geschwindigkeit auftreffen.
