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Aufgabe

Geschwindigkeit von Caesiumatomen (Abitur BY 2000 LK A3-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In einem Atomofen befindet sich Cäsium-Gas der Temperatur \(T\). Die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen beträgt \(\bar v = 300\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Durch ein kleines Loch in der Ofenwand tritt ein Strahl von Atomen in einen evakuierten Raum ein.

a)

Skizzieren und erläutern Sie eine Versuchsanordnung, mit der die Geschwindigkeit der Cäsium-Atome nach Verlassen des Ofens bestimmt werden kann.

b)

Berechnen Sie, welche Temperatur sich für den Ofen ergibt.

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a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. Skizze zur Lösung

Man lässt die Cäsiumatome aus dem Ofen durch eine Chopperräder-Anordnung fliegen. Die beiden Chopperräder drehen sich auf einer gemeinsamen Achse mit bekannter Drehfrequenz \(f\), ihr Abstand ist \(d\). Aus dem Drehwinkel um den der Auftrefffleck der Cäsiumatome gegenüber den Schlitz verschoben ist, kann man die Geschwindigkeit der Atome berechnen.

 

 

 

 

 

 

 

 

Joachim Herz Stiftung
Abb. Skizze zur Lösung

Möglich ist auch eine Antwort mit einer Versuchsanordnung analog dem waagerechten Wurf, die allerdings wesentlich ungenauer ist. (untere Skizze!)

b)

Für die mittlere kinetische Energie gilt \[{{\bar E}_{kin}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T\]
und \[{{\bar E}_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \overline {{v^2}} \] Beachtet man noch den durch die MAXWELLsche Geschwindigkeitsverteilung sich ergebenden Zusammenhang
\[\bar v = 0,92 \cdot \sqrt {\overline {{v^2}} }  \Rightarrow \overline {{v^2}}  = \frac{{{{\bar v}^2}}}{{{{0,92}^2}}}\]
zwischen mittlerer Geschwindigkeit und mittlerem Geschwindigkeitsquadrat, so ergibt sich
\[\frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \overline {{v^2}}  = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \frac{{{{\bar v}^2}}}{{{{0,92}^2}}} \Leftrightarrow T = \frac{{m \cdot {{\bar v}^2}}}{{3 \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot {{0,92}^2}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[T = \frac{{132,9 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot {{\left( {300\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot {{0,92}^2}}} = 567\,{\rm{K}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Wärmelehre

Kinetische Gastheorie