In einer Heizkammer mit dem Volumen \(2{,}0\ell \) Liter befindet sich ein als ideal angenommenes Gasgemisch von \(10{,}0\,{\rm{g}}\) Natriumatomen und \(1{,}0\,{\rm{g}}\) Heliumatomen bei einem Druck von \(3{,}5 \cdot {10^6}{\rm{Pa}}\).
a)
Zeigen Sie, dass die Temperatur des Gasgemisches \(1{,}2 \cdot {10^3}\,{\rm{K}}\) beträgt. (6 BE)
b)
Begründen Sie rechnerisch, dass die mittlere kinetische Energie der Atome zur Erzeugung der in der Formelsammlung aufgeführten Emissionslinien nicht ausreicht.
Erläutern Sie, warum diese Emissionslinien dennoch auftreten. (7 BE)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe
Aus einer engen Öffnung der Heizkammer tritt ein feiner Atomstrahl aus. Im Folgenden ist davon auszugehen, dass alle Atome eine einheitliche kinetische Energie von \(0{,}16\,\rm{eV}\) haben. Diese Atome treffen senkrecht auf die Oberfläche eines NaCl-Kristalls. Die regelmäßige Anordnung der Atome an der Oberfläche des Kristalls wirkt wie ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstanten \(d = 2{,}82 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\).
Ein Teil der Atome wird senkrecht reflektiert, einige werden diffus gestreut. Außerdem kann man unter bestimmten Winkeln gegen das Lot auf die Kristalloberfläche lokale Intensitätsmaxima registrieren.
c)
Erklären Sie anhand einer beschrifteten Skizze das Zustandekommen der Maxima.
Zeigen Sie, dass für den Zusammenhang zwischen dem Impulsbetrag \(p\) der Atome und dem Winkel \(\varphi \) eines Maximums 1. Ordnung gilt (6 BE)
\[p = \frac{h}{{d \cdot \sin \left( \phi \right)}}\]
d)
Unter dem Winkel \({\varphi = 7,3^\circ }\) ergibt sich das Maximum 1. Ordnung für eine der beiden Atomsorten.
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass dieses Maximum vom Heliumstrahl herrührt. (6 BE)
Die in der Formelsammlung angegeben Emissionslinien liegen zwischen \(447,1\rm{nm}\) und \(667,8\rm{nm}\), die energieärmste ist \(667,8\rm{nm}\). Dem entspricht eine Photonenenergie von
\[{E_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Rightarrow {E_{{\rm{Ph}}{\rm{,min}}}} = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{667,1 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} = 3,0 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{J}}\]
Die mittlere kinetische Energie der Atome ergibt sich aus der kinetischen Gastheorie zu
\[{E_{kin}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Rightarrow {E_{kin}} = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot {10^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot 1200{\rm{K}} = 2,5 \cdot {10^{ - 20}}{\rm{J}}\]
Dies ist um mehr als den Faktor \(10\) kleiner als die benötigte Energie. Da einzelne Atome aber nach der MAXWELLschen Geschwindigkeitsverteilung auch viel größere Geschwindigkeiten als die mittlere Geschwindigkeit haben können, kommt es doch immer wieder zu Anregungen.
c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Lösung
Es gibt immer dann Reflexionsmaxima, wenn der Wegunterschied \(\Delta s = d \cdot \sin \left( \varphi \right)\) (siehe Skizze) zwischen der Streuung an benachbarten Atomen ein Vielfaches der de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda = \frac{h}{p}\) ist. Somit gilt
\[\frac{h}{p} = d \cdot \sin \left( \varphi \right) \Leftrightarrow p = \frac{h}{{d \cdot \sin \left( \varphi \right)}}\]
d)
Aus \({\varphi = 7,3^\circ }\) ergibt sich wegen Aufgabenteil c) für den Impuls
\[p = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{2,82 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}} \cdot \sin \left( {7,3^\circ } \right)}} = 1,8 \cdot {10^{ - 23}}\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\]
Der Impuls errechnet sich aus
\[p = m \cdot v = \sqrt {2 \cdot m \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}} = \sqrt {2 \cdot m \cdot {E_{kin}}} \]
und damit
\[{p_{{\rm{He}}}} = \sqrt {2 \cdot 4 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 2,5 \cdot {{10}^{ - 20}}{\rm{J}}} = 1,8 \cdot {10^{ - 23}}\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\]
bzw.
\[{p_{{\rm{Na}}}} = \sqrt {2 \cdot 23 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 2,5 \cdot {{10}^{ - 20}}{\rm{J}}} = 4,4 \cdot {10^{ - 23}}\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{s}}}\]
Für den Heliumstrahl stimmen die Werte, nicht aber für den Natriumstrahl.
