Der 1998 gestartete Forschungssatellit DS1 (deep space 1) wurde mit einem Ionentriebwerk ausgestattet. Bei einem Antrieb dieser Art strömt das Edelgas Xenon in eine Vorkammer. Hier wird es durch Stöße mit Elektronen, die aus der Kathode K1 austreten und durch die Spannung U1 beschleunigt werden, einfach ionisiert. Die Ionisierungsenergie der Xenonatome beträgt dabei \(12,1\rm{eV}\).
Die Xe+-Ionen passieren eine gitterförmige Elektrode G1 und gelangen in das durch die Spannung \(U_2 = 1280\rm{V}\) verursachte elektrische Feld, wo sie beschleunigt werden. Durch eine zweite gitterförmige Elektrode G2 treten die Xe+-Ionen ins Freie.
a)
Erläutere, wie groß die Spannung \(U_1\) mindestens gewählt werden muss, damit das Ionentriebwerk erfolgreich betrieben werden kann. (3 BE)
b)
Zeige, dass die Xe+-Ionen das Triebwerk mit der Geschwindigkeit \(43\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\) verlassen, wenn \({U_1} \ll {U_2}\) ist.
Berechne, welche Temperatur ein Ofen haben müsste, in dem Xe-Atome eine solche mittlere Geschwindigkeit besitzen. (7 BE)
Der Satellit DS1 führt \(81\rm{kg}\) Xenon als Treibstoff für das Ionentriebwerk mit. Das Xenon wird über 1,2 Jahre gleichmäßig ausgestoßen.
Berechne die elektrische Leistung, die von den Sonnenpanels des Satelliten mindestens erbracht werden muss, damit das Ionentriebwerk betrieben werden kann. (6 BE)
Eine zweite Kathode K2 ist außen am Triebwerk angebracht. Sie emittiert Elektronen in das Weltall.
e)
Erläutere, warum diese Kathode für den Betrieb des Ionentriebwerks unverzichtbar ist. (3 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Damit die Elektronen zur Stoßionisation in der Lage sind, müssen sie mindestens eine kinetische Energie besitzen, die gleich der Ionisierungsenergie der Xe-Atome ist: \[{E_{{\rm{kin,}}e}} \ge {E_{{\rm{Ion}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_1} \ge {E_{{\rm{Ion}}}} \Leftrightarrow {U_1} \ge \frac{{{E_{{\rm{Ion}}}}}}{e} \Rightarrow {U_1} \ge \frac{{12,1{\rm{eV}}}}{e} = 12,1{\rm{V}}\]
Auf Grund des Impulserhaltungssatzes muss die Impulsänderung der ausgestoßenen Masse gleich der Impulsänderung des Satelliten sein. Für den Kraftstoß gilt \[\bar F \cdot \Delta t = \Delta p \Leftrightarrow \bar F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}} = \frac{{\Delta m \cdot {v_{{\rm{Xe}}}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow \bar F = \frac{{81{\rm{kg}} \cdot 4,34 \cdot {{10}^4}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,2 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}}}} = 9,3 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{N}}\]
2. Möglichkeit: Berechnung über die elektrische Leistung: \[{P_{{\rm{min}}}} = {U_2} \cdot I = {U_2} \cdot \frac{{\frac{{\Delta m}}{{{m_{\rm{A}}}\left( {{\rm{Xe}}} \right)}} \cdot e}}{{\Delta t}}\] Dieser Weg führt ebenfalls zum obigen Ergebnis.
e)
Ohne die Kathode K2 würde sich der Satellit immer stärker negativ aufladen, so dass das Ausstoßen von Xe+-Ionen wegen der zunehmenden elektrostatischen Anziehung nicht mehr möglich wäre.
