a)Das Volumen \(V_{\rm{Z}}\) eines Zylinders berechnet sich nach der Formel\[{V_{\rm{Z}}} = \pi \cdot {r^2} \cdot h\]Mit \(r = 30\rm{cm}=0,30\rm{m}\) und \(h=2,2\rm{m}\) erhält man\[{V_{\rm{Z}}} = \pi \cdot {r^2} \cdot h{V_{\rm{Z}}} = \pi \cdot {\left( {0,30{\rm{m}}} \right)^{\rm{2}}} \cdot 2,2{\rm{m}} = 0,62{{\rm{m}}^3} = 620\ell \]Dabei ist das Ergebnis nur auf zwei gültige Ziffern genau, da die ungenaueste Angabe (z.B. \({r = 0,30{\rm{m}}}\)) nur auf zwei gültige Ziffern genau ist.
b)Der Solarballon kann später nur dann steigen, wenn seine Dichte, d.h. der Quotient aus seiner gesamten Masse und seinem Volumen kleiner oder gleich der Dichte der Luft ist. Für die Dichte des Solarballons erhält man\[\rho = \frac{m}{V} \Rightarrow {\rho _{{\rm{Solarballon}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Hülle}}}} + {m_{{\rm{Füllung}}}}}}{{{V_{\rm{Z}}}}}\]Damit erhält man die Ungleichung\[{\rho _{{\rm{Solarballon}}}} \le {\rho _{{\rm{Luft}}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_{{\rm{Hülle}}}} + {m_{{\rm{Füllung}}}}}}{{{V_{\rm{Z}}}}} \le {\rho _{{\rm{Luft}}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{Füllung}}}} \le {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot {V_{\rm{Z}}} - {m_{{\rm{Hülle}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{m_{{\rm{Füllung}}}} \le 1,1\frac{{\rm{g}}}{\ell } \cdot 620\ell - 100{\rm{g}} = 580{\rm{g}}\]Das Volumen der höchstens in den Solarballon einzufüllenden Luftmenge beträgt dann\[\rho = \frac{m}{V} \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho } \Rightarrow {V_{{\rm{Füllung}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Füllung}}}}}}{{{\rho _{{\rm{Luft}}}}}} \Rightarrow {V_{{\rm{Füllung}}}} = \frac{{580{\rm{g}}}}{{1,1\frac{{\rm{g}}}{\ell }}} = 530\ell \]Dabei wurde das Zwischen- und das Endergebnis auf zwei gültige Ziffern gerundet, da die ungenaueste Angabe (z.B. \({{\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1,1\frac{{\rm{g}}}{\ell }}\)) nur auf zwei gültige Ziffern genau ist.
c)Wir benutzen zur Lösung der Aufgabe das Allgemeine Gasgesetz\[\frac{{{p_1} \cdot {V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2} \cdot {V_2}}}{{{T_2}}}\quad(1)\]Gegeben sind hier \(V_1=530\ell\), \(T_1 = \left( {273 + 20} \right){\rm{K}} = 293{\rm{K}}\) und \(V_2=620\ell\), gesucht ist \(T_2\). Da sich die Hülle des Solarballons nicht ausdehnen soll, muss gelten \(p_1=p_2\). Löst man Gleichung \((1)\) nach \(T_2\) auf und setzt die gegebenen Werte ein, so ergibt sich\[{T_2} = \frac{{{p_2} \cdot {V_2} \cdot {T_1}}}{{{p_1} \cdot {V_1}}} = \frac{{{V_2} \cdot {T_1}}}{{{V_1}}} \Rightarrow {T_2} = \frac{{620\ell \cdot {\rm{293K}}}}{{530\ell }} = 343{\rm{K}}\]Damit muss die Luft im Solarballon auf eine Temperatur von \({\vartheta _2} = \left( {343 - 273} \right)^\circ {\rm{C}} = 70^\circ {\rm{C}}\) kommen, damit der Solarballon steigt.
