a)Da die Luft bei der Erwärmung aus der Ballonhülle entweichen kann, bleibt der Druck im Innern der Ballonhülle konstant. Wir nutzen deshalb zur Lösung der Aufgabe das Gesetz von GAY-LUSSAC\[\frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}}\quad(1)\]Gegeben sind hier \({V_1} = 2700{{\rm{m}}^3}\), \({T_1} = \left( {273 + 0,0} \right){\rm{K}} = 273{\rm{K}}\) und \({{T_2} = \left( {273 + 27} \right){\rm{K}} = 300{\rm{K}}}\), gesucht ist \(V_2\). Löst man Gleichung \((1)\) nach \(V_2\) auf und setzt die gegebenen Werte ein, so ergibt sich\[{V_2} = \frac{{{V_1} \cdot {T_2}}}{{{T_1}}} \Rightarrow {V_2} = \frac{{2700{{\rm{m}}^3} \cdot 309{\rm{K}}}}{{273{\rm{K}}}} = 3060{{\rm{m}}^3}\]Damit entweichen \(\Delta V = 3060{{\rm{m}}^3} - 2700{{\rm{m}}^3} = 360{{\rm{m}}^3}\) aus der Ballonhülle. Hierbei ist das Ergebnis auf zwei gültige Ziffern genau, da die ungenaueste Angabe (z.B. \(T_2=36^\circ \)) nur zwei gültige Ziffern besitzt.
b)Der Ballon kann eine genau so große Last anheben wie die Masse \(m\) der aus der Ballonhülle entwichenen Luft mit dem Volumen \(\Delta V\) und der Dichte \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1,0\frac{{\rm{g}}}{\ell } = 1,0\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}}} = 1,0\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}}\) ist. Damit erhält man\[m = {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot \Delta V \Rightarrow m = 1,0\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 360{{\rm{m}}^3} = 360{\rm{kg}}\]Hierbei ist das Ergebnis auf zwei gültige Ziffern genau, da die ungenaueste Angabe (z.B. \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1,0\frac{{\rm{g}}}{\ell }\)) nur zwei gültige Ziffern besitzt.
c)Damit der Ballon mit der Last von \(300\rm{kg}\) auch noch in \(5\rm{km}\) Höhe fahren kann, muss analog zu Aufgabenteil b) Luft mit der Masse \(300\rm{kg}\), aber nun der Dichte \({\rho _{{\rm{Luft, 5km}}}} = 0,50\frac{{\rm{g}}}{\ell } = 0,50\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}}\) aus dem Ballon entwichen sein. Man erhält für das entsprechende Volumen\[m = {\rho _{{\rm{Luft}}{\rm{,5km}}}} \cdot \Delta V \Leftrightarrow \Delta V = \frac{m}{{{\rho _{{\rm{Luft}}{\rm{,5km}}}}}} \Rightarrow \Delta V = \frac{{300{\rm{kg}}}}{{0,50\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}}}} = 600{{\rm{m}}^3}\]Analog zu Aufgabenteil a) nutzen wir wieder das Gesetz von GAY-LUSSAC. Nun sind gegeben \({V_1} = 2700{{\rm{m}}^3}\), \({T_1} = \left( {273 + 0,0} \right){\rm{K}} = 273{\rm{K}}\) und \(V_2=V_1+\Delta V=2700{{\rm{m}}^3}+600{{\rm{m}}^3}=3300{{\rm{m}}^3}\), gesucht ist \(T_2\). Löst man Gleichung \((1)\) nach \(T_2\) auf und setzt die gegebenen Werte ein, so ergibt sich\[{T_2} = \frac{{{V_2} \cdot {T_1}}}{{{V_1}}} \Rightarrow {T_2} = \frac{{3300{{\rm{m}}^3} \cdot 273{\rm{K}}}}{{2700{{\rm{m}}^3}}} = 334{\rm{K}}\]Damit muss die Temperaturdifferenz zwischen Ballonluft und Außenluft \(\Delta \vartheta = \left( {334 - 273} \right)^\circ {\rm{C}} = 61^\circ {\rm{C}}\) betragen.
