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Aufgabe

Versuch von JÖNSSON (Abitur BY 2000 LK A5-2-c/d/e)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Claus JÖNSSON (geb. 1930); von Zorres (Eigenes Werk) [Public domain], via Wikimedia Commons

Im Jahr 1960 gelang es Claus JÖNSSON zu zeigen, dass sich ein intensiver Elektronenstrahl an einem geeigneten Doppelspalt analog zu einem Lichtstrahl verhält. Die Elektronen hatten eine kinetische Energie von \(50{\rm{keV}}\).

a)Erläutere kurz, warum die Versuchsergebnisse der Teilchenvorstellung widersprechen. (4 BE)

b)Berechne relativistisch die Geschwindigkeit \(v\) und die de BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda\) der verwendeten Elektronen. [zur Kontrolle: \(\lambda  = 5,4{\rm{pm}}\)] (8 BE)

c)Beim JÖNSSON-Versuch war es extrem schwierig, einen geeigneten Doppelspalt zu realisieren.

Berechne den Spaltabstand, wenn das 0. Maximum und das 1. Minimum einen Winkel von \({\rm{0,30''}}\) (Winkelsekunden) einschließen. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Nach der Teilchenvorstellung müssten sich nach dem Doppelspalt ein verhältnismäßig scharfes einzelnes Maximum ergeben. Es ergeben sich aber für Wellen typische Interferenzmuster mit Minima und Maxima.

b)Unter Verwendung der EINSTEIN-Formel ergibt sich \[m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow m \cdot {c^2} = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow {E_0} + {E_{{\rm{kin}}}} = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\] Auflösen nach \(v\) ergibt \[\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  = \frac{{{E_0}}}{{{E_0} + {E_{{\rm{kin}}}}}} \Rightarrow v = c \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{E_0}}}{{{E_0} + {E_{{\rm{kin}}}}}}} \right)}^2}} \] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[v = c \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{511{\rm{keV}}}}{{511{\rm{keV}} + 50{\rm{keV}}}}} \right)}^2}}  = 0,41 \cdot c = 0,41 \cdot 3,00 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1,2 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\] Damit ergibt sich die de BROGLIE-Wellenlänge mittels Energie-Impulsbeziehung (aber auch mit relativistischer Masse) durch \[\lambda  = \frac{h}{p} = \frac{h}{{\sqrt {\frac{{{E^2} - {E_0}^2}}{{{c^2}}}} }} = h \cdot \sqrt {\frac{{{c^2}}}{{{E^2} - {E_0}^2}}} \] zu \[\lambda  = 6,63 \cdot {10^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot \sqrt {\frac{{{{\left( {3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {561 \cdot {{10}^3} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}} \right)}^2} - {{\left( {511 \cdot {{10}^3} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}} \right)}^2}}}}  = 5,3 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{m}}\]

c)Aus den bekannten geometrischen Überlegungen beim Doppelspalt ergibt sich für den Abstand vom 0. Maximum zum 1. Minimum (!) \[b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = \frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow b = \frac{\lambda }{{2 \cdot \sin \left( \alpha  \right)}} \Rightarrow b = \frac{{5,3 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot \sin \left( {{{\left( {\frac{{0,30}}{{3600}}} \right)}^\circ }} \right)}} = 1,8 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\]