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Aufgabe

MÖLLENSTEDT-Versuch (Abitur BY 1982 LK A3-2/3)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Siehe auch den optischen Teil dieser Abituraufgabe.

Die nebenstehende Skizze zeigt eine vereinfachte Darstellung des erstmals von Gottfried MÖLLENSTEDT (1912 - 1997) durchgeführten MÖLLENSTEDT-Versuches. Elektronen werden durch eine Spannung \({U_{\rm{B}}}\) aus dem Zustand der Ruhe auf die Geschwindigkeit \({\vec v}\) beschleunigt und treten dann in das gezeichnete Ablenksystem ein. Weiter rechts befindet sich eine Beobachtungsebene senkrecht zur "optischen Achse". Zwischen der Mittelplatte und den Außenplatten liegt die Spannung \({U_{\rm{A}}}\).

a)Berechnen Sie allgemein den Winkel \(\beta \) (siehe Skizze) in Abhängigkeit von der Elektronengeschwindigkeit \(v\) und den übrigen Daten der Anordnung für \({U_{\rm{B}}} \gg {U_{\rm{A}}}\). (Nichtrelativistische Rechnung!) (12 BE)

b)Beschreiben Sie qualitativ, was man in der Beobachtungsebene registriert, wenn die Ablenkanordnung

i) nur aus dem oberen Kondensator,

ii) nur aus dem unteren Kondensator,

iii) aus beiden Kondensatoren besteht.

Beugungserscheinungen können außer acht gelassen werden. (8 BE)

c)Bei einem Möllenstedt-Experiment mit der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}} = 15{\rm{kV}}\) ergab sich eine Wellenlänge \(\lambda  = 10{\rm{pm}}\).

Prüfen Sie rechnerisch, ob die de BROGLIE-Beziehung für die Wellenlänge erfüllt ist. (9 BE)

Neben einem Interferenzversuch mit Elektronen wird noch folgendes Experiment ausgeführt: Ein feiner Strahl von Elektronen der kinetischen Energie \({E_{{\rm{kin}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\) tritt senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte \(\vec B\).

d)Leiten Sie den Zusammenhang zwischen dem Impuls der Elektronen und dem Radius der im Magnetfeld beschriebenen Kreisbahn her. (7 BE)

e)Durch Gleichsetzen des in Teilaufgabe d) berechneten Impulses mit dem nach de BROGLIE berechenbaren Impuls ergibt sich ein Term für die Elementarladung \(e\).

Leiten Sie diesen Term her. [Kontrollergebnis: \(e = \frac{h}{{\lambda  \cdot r \cdot B}}\)](6 BE)

f)Die Ergebnisse eines elektronenoptischen Biprisma-Versuchs und eines Ablenkversuchs im Magnetfeld sind in der folgenden Tabelle in Abhängigkeit von \({U_{\rm{B}}}\) dargestellt. Die übrigen Versuchsbedingungen bleiben jeweils gleich, insbesondere hat die Flussdichte des Magnetfeldes den konstanten Wert \(\left| {\vec B} \right| = 7,5 \cdot {10^{ - 3}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\).

\({U_{\rm{B}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{keV}}\) \(15,0\) \(19,4\) \(26,0\) \(40,0\)
Biprismaversuch: \(\lambda \;{\rm{in}}\;{\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 12}}{\rm{m}}\) \(10,0\) \(8,70\) \(7,50\) \(6,00\)
Ablenkversuch: \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 2}}{\rm{m}}\) \(5,5\) \(6,3\) \(7,3\) \(9,2\)

Bestimmen Sie gemäß Teilaufgabe e) für zusammengehörige Werte von \(\lambda \) und \(r\) jeweils die Elementarladung.

Erläutern Sie, welche wichtige Erkenntnis sich für die Elementarladung ergibt, wenn man berücksichtigt, dass es sich bei den gegebenen Versuchsbedingungen um relativistische Elektronen handelt. (12 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit beim Verlassen des Kondensators berechnet sich durch\[{v_{y,l}} = {a_y} \cdot {t_l} = \frac{{{F_y}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{l}{v}\]woraus sich mit\[{{F_y} = e \cdot E = e \cdot \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{d}}\]ergibt\[{v_{y,l}} = \frac{{e \cdot {U_{\rm{A}}}}}{{{m_e} \cdot d}} \cdot \frac{l}{v}\]Daraus berechnet sich die gesuchte Winkelweite zu\[\beta  = 2 \cdot \alpha  \approx 2 \cdot \tan \left( \alpha  \right) = 2 \cdot \frac{{v_{y,l}}}{v} = 2 \cdot \frac{{e \cdot {U_{\rm{A}}}}}{{{m_e} \cdot d}} \cdot \frac{l}{{{v^2}}}\]

 

b)(i) nur aus dem oberen Kondensator

Die Elektronen sind auf ein begrenztes Feld verstreut, dessen Zentrum oberhalb der optischen Achse liegt.

 

(ii) nur aus dem unteren Kondensator

Die Elektronen sind auf ein begrenztes Feld verstreut, dessen Zentrum unterhalb der optischen Achse liegt.

 

(iii) aus beiden Kondensatoren

Interferenzerscheinungen im Überlappungsgebiet.

c)Relativistische Berechnung der Elektronengeschwindigkeit: \[E = {E_0} + {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} = {E_0} + {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  = \frac{{{E_0}}}{{{E_0} + {E_{{\rm{kin}}}}}} \Rightarrow v = c \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{E_0}}}{{{E_0} + {E_{{\rm{kin}}}}}}} \right)}^2}} \] Einsetzen der gegebeben Werte liefert \[v = c \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{511{\rm{keV}}}}{{511{\rm{keV}} + 15{\rm{keV}}}}} \right)}^2}}  = 0,24 \cdot c = 0,24 \cdot 3,00 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 0,72 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\] Relativistische Berechnung der Elektronenmasse: \[m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,24 \cdot c}}{c}} \right)}^2}} }} = 1,03 \cdot {m_0} = 1,03 \cdot 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}} = 9,3 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\] Setzt man diese Werte in die de BROGLIE-Beziehung ein, so ergibt sich \[\lambda  = \frac{h}{p} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Rightarrow \lambda  = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{9,38 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 0,72 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 9,95 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{m}} = 10{\rm{pm}}\]

d)Die LORENTZ-Kraft wirkt hier als Zentripetalkraft, d.h. es gilt\[{F_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}} \Leftrightarrow e \cdot v \cdot B = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} \Leftrightarrow e \cdot B = \frac{{m \cdot v}}{r} \Leftrightarrow e \cdot B \cdot r = m \cdot v = p \quad(1)\]

e)Aus der de BROGLIE-Beziehung ergibt sich\[p = \frac{h}{\lambda } \quad(2)\]Gleichsetzen von \((1)\) und \((2)\) ergibt\[e \cdot B \cdot r = \frac{h}{\lambda } \Leftrightarrow e = \frac{h}{{\lambda  \cdot B \cdot r}}\]

f) 

\({U_{\rm{B}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{keV}}\) \(15,0\) \(19,4\) \(26,0\) \(40,0\)
Biprismaversuch: \(\lambda \;{\rm{in}}\;{\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 12}}{\rm{m}}\) \(10,0\) \(8,70\) \(7,50\) \(6,00\)
Ablenkversuch: \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 2}}{\rm{m}}\) \(5,5\) \(6,3\) \(7,3\) \(9,2\)
\(\lambda  \cdot r\;{\rm{in}}\;{\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 14}}{{\rm{m}}^2}\) \(55\) \(55\) \(55\) \(55\)

Der Wert von \({\lambda  \cdot r}\) hängt offensichtlich nicht von \({{U_{\rm{B}}}}\), also auch nicht von \(v\) ab. Damit hängt die Ladung des Elektrons nach dem Ergebnis von Teilaufgabe e) nicht von der Geschwindigkeit des Elektrons ab. Die Änderung der spezifischen Ladung des Elektrons resultiert demnach alleine aus der Massenänderung mit der Geschwindigkeit.