a)Im Physiksaal steht an der Rückwand ein Diaprojektor, dessen Objektiv eine Brennweite von \(120\,\rm{mm}\) hat. Mit dem Projektor sollen Kleinbilddias (\(36\,\rm{mm}\) x \(24\,\rm{mm}\)) auf die \(8{,}00\,\rm{m}\) entfernte Leinwand mit den Maßen \(2{,}00\,\rm{m}\) x \(2{,}00\,\rm{m}\) scharf projiziert werden.
Zeige durch eine grobe Abschätzung, dass die Leinwand zu klein ist.
Hinweis: Wenn du nach längerem Nachdenken keine Lösungsidee hast, nutze den folgenden .
Die Leinwandentfernung ist wesentlich größer als die Brennweite des Objektivs. Man kann näherungsweise so tun, als ob die Bildweite fast "unendlich" ist. In diesem Fall muss das Dia vom Objektiv etwa den Abstand der Brennweite haben. Also \(g \approx f\).
b)Damit das ganze vom Projektor entworfene Bild zu sehen ist, wird die Leinwand hochgezogen und auf die \(30\,\rm{cm}\) dahinterliegende Frontwand projiziert. Allerdings ist das Bild zunächst unscharf.
Gib begründet an, ob man nun für die Scharfstellung des Bildes den Abstand Dia-Objektiv vergrößern oder verkleinern muss.
c)Um den lästigen Weg zum Projektor beim Diawechsel zu vermeiden, wird ein neuer Projektor angeschafft. Bei einem Projektionsabstand von \(3{,}00\,\rm{m}\) soll die vorhandene Leinwand gut ausgeleuchtet werden. Der Hersteller bietet drei verschiedene Objektivbrennweiten an: \(45\,\rm{mm}\), \(60\,\rm{mm}\) und \(90\,\rm{mm}\).
Entscheide durch eine Rechnung, welches Objektiv du wählen würdest.
a)Die Gegenstandsweite ist näherungsweise gleich der Brennweite (tatsächlich ist sie etwas größer). Dann gilt \[\frac{B}{G} = \frac{b}{g} \Rightarrow \frac{B}{G} \approx \frac{b}{f} \Rightarrow B \approx G \cdot \frac{b}{f}\quad (1)\] Für die Gegenstandsgröße muss man die größere Seitenlänge des Dias (\(36\,\rm{mm} = 0{,}036\,\rm{m}\)) ansetzen, da das Bild sowohl im Hoch- als auch im Querformat auf die Leinwand passen soll. \[B \approx 0{,}036\,{\rm{m}} \cdot \frac{{8{,}00\,{\rm{m}}}}{{0{,}120\,{\rm{m}}}} = 2{,}40\,{\rm{m}}\]Das scharfe Bild hat eine maximale Seitenlänge von \(2{,}40\,\rm{m}\), d.h. die Leinwand ist zu klein.
Hinweis für Schüler, die gerne viel rechnen: Aus \(f\) und \(b\) kann man sich \(g\) genau berechnen:\[{\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{g} = \frac{1}{f} - \frac{1}{b} = \frac{{b - f}}{{f \cdot b}} \Leftrightarrow g = \frac{{f \cdot b}}{{b - f}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{g = \frac{{0{,}120\,{\rm{m}} \cdot 8{,}00\,{\rm{m}}}}{{8{,}00\,{\rm{m}} - 0{,}120\,{\rm{m}}}} = 0{,}122\,{\rm{m}}}\]und damit\[{B = G \cdot \frac{b}{g} \Rightarrow B = 2{,}36\,{\rm{m}}}\]Man sieht hieraus, dass die obige Abschätzung gar nicht schlecht war.
b)Die Bildweite ist nun gegenüber Teilaufgabe a) größer geworden. Nach der Bewegungsregel ("wenn sich der Gegenstand auf die Sammellinse zu bewegt, dann bewegt sich das reelle Bild von der Linse weg") muss \(g\) kleiner werden, also muss man den Abstand Dia-Objektiv verringern. Dies geschieht bei Diaprojektoren dadurch, dass man das Objektiv auf das fest stehende Dia zu bewegt.
c)Mit der in Teilaufgabe a) verwendeten Vereinfachung (die bei Objektiven kürzerer Brennweite nicht mehr so gut erfüllt ist) gilt\[B \approx G \cdot \frac{b}{f} \Rightarrow B \approx 0{,}036\,{\rm{m}} \cdot \frac{{3{,}00\,{\rm{m}}}}{f}\]
\(f\,\rm{in\,mm}\)
\(45\)
\(60\)
\(90\)
\(B\,\rm{in\,m}\)
\(2{,}40\)
\(1{,}80\)
\(1{,}20\)
Man wird also den Projektor mit der Objektivbrennweite \(60\,\rm{mm}\) auswählen. Damit wird zwar nicht die ganze Leinwand ausgeleuchtet, aber dies ist weniger störend als der Fall von Teilaufgabe a).
