Vorüberlegungen
Aus der Linsengleichung ergibt sich\[\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g} \Leftrightarrow b=\frac{f \cdot g}{g-f} \quad(1)\]Aus der Abbildungsgleichung für Linsen ergibt sich\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g} \Leftrightarrow B=\frac{b \cdot G}{g}\quad(2)\]
Bei Zerstreuungslinsen ist die Brennweite \(f\) stets negativ, d.h. es gilt \(f<0\) und \(f=-|f|\) mit \(|f|>0\). Damit ergibt sich aus \((1)\)\[b = \frac{{f \cdot g}}{{g - f}} = \frac{{ - |f| \cdot g}}{{g + |f|}} = - \frac{{\overbrace {|f| \cdot g}^{ > \;0}}}{{\underbrace {g + |f|}_{ > \;0}}} < 0\]Damit ergibt sich aus \((2)\)\[B = \frac{{\overbrace b^{ < \;0} \cdot \overbrace G^{ > \;0}}}{{\underbrace g_{ > \;0}}} < 0\]Da \(b<0\) ist das Bild virtuell, da \(B<0\) steht das Bild aufrecht.
Weiter gilt\[\left| b \right| = \left| { - \frac{{|f| \cdot g}}{{g + |f|}}} \right| = \frac{{|f| \cdot g}}{{g + |f|}} = g \cdot \frac{{|f|}}{{g + |f|}} = g \cdot \frac{{|f|\overbrace { + g - g}^{ = \;0}}}{{g + |f|}} = g \cdot \left( {\frac{{|f| + g}}{{g + |f|}} - \frac{g}{{g + |f|}}} \right) = g \cdot \left( {\underbrace {1 - \frac{g}{{g + |f|}}}_{ < \;1}} \right) < g\]und damit\[\left| B \right| = \left| {\frac{{b \cdot G}}{g}} \right| = \frac{{\left| b \right| \cdot G}}{g} = G \cdot \underbrace {\frac{{\left| b \right|}}{g}}_{ < \;1} < G\]
