Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Dicke eines Frauenhaares

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Flexon möchte die Dicke \(h\) eines Frauenhaares ausmessen und legt dies vorsichtig zwischen zwei dicke planparallele Glasplatten. Bei der Bestrahlung mit monochromatischem, parallelem Licht stellt sich in Reflexion das nebenstehend skizzierte Interferenzmuster ein. Flexon misst für \(a = 1,50\rm{cm}\).

a) Drucken Sie die obige Skizze aus und ergänzen Sie den Verlauf derjenigen Strahlen, die für die Interferenz in Frage kommen. Begründen Sie, warum Sie gerade diese Strahlen auswählen.

Hinweis: Überlegen sie, welche Grenzflächen relevant für die Bestimmung des Gangunterschieds sind. Beachten Sie, wann bei Reflexion an Grenzflächen Phasensprünge auftreten.

b) Berechnen Sie aus \(λ=600\rm{nm}\) und \(L=10,0\rm{cm}\) die Dicke des Haares.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a) Nur bei den beiden skizzierten Strahlen 1 und 2 ist der Gangunterschied so klein, dass die Kohärenzbedingung erfüllt werden kann ("Normales" Licht hat eine relativ kurze Kohärenzlänge. Ist der Gangunterschied zu groß, so kommt es aufgrund der unterschiedlichen Laufzeiten nicht zur Überlappung der beiden Wellenzüge auf einem Schirm zu einem bestimmten Zeitpunkt).

Der Gangunterschied zwischen zwei Strahlen, die z.B. jeweils an der Unterseite der Glasplatten reflektiert werden, ist in der Regel schon zu groß.

b) Berechnung des Gangunterschiedes (Berücksichtigung des Phasensprungs bei Reflexion von Strahl 1): \[\Delta s = 2 \cdot {d_k} + \frac{\lambda }{2}\quad(1)\] Ausdrücken von dk durch \(h\), \(L\) und \(x_k\) (Strahlensatz):< \[\frac{{{d_k}}}{h} = \frac{{{x_k}}}{L} \Leftrightarrow {d_k} = h \cdot \frac{{{x_k}}}{L}\quad(2)\] Einsetzen von \((2)\) in \((1)\) liefert \[\Delta s = 2 \cdot h \cdot \frac{{{x_k}}}{L} + \frac{\lambda }{2}\] Für das \(k\)-te Maximum gilt< \[\Delta s = k \cdot \lambda \] Somit ergibt sich für \(x_k\) \[k \cdot \lambda  = 2 \cdot h \cdot \frac{{{x_k}}}{L} + \frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow L \cdot \lambda  \cdot \left( {k - \frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot h \cdot {x_k} \Leftrightarrow {x_k} = \frac{{L \cdot \lambda  \cdot \left( {k - \frac{1}{2}} \right)}}{{2 \cdot h}}\] und analog für \(x_{k+1}\) \[{x_{k + 1}} = \frac{{L \cdot \lambda  \cdot \left( {k + \frac{1}{2}} \right)}}{{2 \cdot h}}\] Somit folgt für den Abstand benachbarter Maxima \[\Delta x = {x_{k + 1}} - {x_k} = \frac{{L \cdot \lambda  \cdot \left( {k + \frac{1}{2}} \right)}}{{2 \cdot h}} - \frac{{L \cdot \lambda  \cdot \left( {k - \frac{1}{2}} \right)}}{{2 \cdot h}} = \frac{{L \cdot \lambda }}{{2 \cdot h}}\] Aus der Folge der Interferenzstreifen kann man sehen \[\Delta x = \frac{a}{5} \Rightarrow \Delta x = \frac{{1,50 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}}{5} = 0,30 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{m}}\] Somit ergibt sich für \(h\) \[\Delta x = \frac{{L \cdot \lambda }}{{2 \cdot h}} \Leftrightarrow h = \frac{{L \cdot \lambda }}{{2 \cdot \Delta x}} \Rightarrow h = \frac{{0,10{\rm{m}} \cdot 600 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 0,30 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} = 1,0 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{m}} = \frac{1}{{100}}{\rm{mm}}\]