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Grundwissen

Interferenz an dünnen Schichten

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Interferenz tritt häufig auch bei der Reflexion an dünnen Schichten auf - daher schimmern Seifenblasen und Ölschichten auf Wasser häufig farbig.
  • Bei der Berechnung muss der Phasensprung bei Reflexion an optisch dichterem Medium berücksichtigt werden.
Aufgaben Aufgaben

Allgemeine Betrachtung

Bei der Interferenz an dünnen Schichten fällt Licht aus der Luft (Brechungsindex 1) unter dem Winkel der Weite \(\varepsilon \) auf eine dünne Schicht mit der Dicke \(d\) und dem Brechungsindex \(n\), die sich oberhalb einer weiteren Schicht mit dem Brechungsindex \({n'}\) befindet. Ein Teil des Lichts (1) wird an der Oberfläche (A) reflektiert, ein anderer Teil des Lichts (2) wird beim Eintritt in die Schicht zum Lot hin gebrochen, an der Unterseite der Schicht (B) reflektiert und beim Austritt aus der Schicht (C) vom Lot weg erneut gebrochen. Schließlich fallen die beiden Teilstrahlen wieder zusammen und interferieren.

Berechnung des Gangunterschiedes

Um herauszufinden, unter welchen Winkeln konstruktive und unter welchen Winkeln destruktive Interferenz von Licht einer bestimmten Wellenlänge \(\lambda \) auftritt, benötigt man den optischen Gangunterschied \(\Delta s = n \cdot \overline {\left| {AB} \right|}  + n \cdot \overline {\left| {BC} \right|}  - \overline {\left| {AP} \right|} \) der beiden, ab der Strecke \(\overline {PC} \) wieder parallelen Wellenfronten (1) und (2). Wegen \({\overline {\left| {BC} \right|}  = \overline {\left| {AB} \right|} }\) beträgt dieser Gangunterschied auch
\[\Delta s = 2 \cdot n \cdot \overline {\left| {AB} \right|}  - \overline {\left| {AP} \right|} \]
Wendet man nun trigonometrische Beziehungen in den Dreiecken \(\rm{ADB}\) und \(\rm{ACP}\) an, nutzt, dass das Dreieck \(\rm{ABC}\) gleichschenklig ist, beachtet das Brechungsgesetz \(n = \frac{{\sin (\varepsilon )}}{{\sin (\varepsilon ')}}\) und führt einige trigonometrische und algebraische Umformungen durch, so erhält man schließlich
\[\Delta s = 2 \cdot d \cdot \sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}(\varepsilon )} \]

Fallunterscheidung zur Berücksichtigung des Phasensprungs

Bei der Reflexion am optisch dichteren Medium tritt immer ein Phasensprung von \(\pi \), der einem zusätzlichen Gangunterschied von \(\frac{\lambda }{2}\) entspricht, auf. Dies ist wegen \(n > 1\) auf jeden Fall bei der Reflexion am Punkt A und im Fall \(n' > n\) auch am Punkt B der Fall, was den Phasensprung am Punkt A dann wieder ausgleicht. Somit ergeben sich folgende Fälle:

1. Fall: \(n' < n\)
\[\Delta s = 2 \cdot d \cdot \sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}(\varepsilon )}  - \frac{\lambda }{2}\]

2. Fall: \(n' > n\)
\[\Delta s = 2 \cdot d \cdot \sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}(\varepsilon )}\]

Bedingungen für konstruktive und destruktive Interferenz

Für den Fall \(n' < n\) (z.B. Luft - Seifenlauge - Luft)   Für den Fall \(n' > n\) (z.B. Luft - Öl - Wasser)

Aus der Bedingung \(\Delta s = k \cdot \lambda \) mit \(k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;...} \right\}\) für Konstruktive Interferenz (Verstärkung) und damit Helligkeit ergibt sich
\[2 \cdot d \cdot \sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}(\varepsilon )}  - \frac{\lambda }{2} = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;...} \right\}\]

 

Aus der Bedingung \(\Delta s = k \cdot \lambda \) mit \(k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;...} \right\}\) für Konstruktive Interferenz (Verstärkung) und damit Helligkeit ergibt sich
\[2 \cdot d \cdot \sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}(\varepsilon )}  = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;...} \right\}\]

Aus der Bedingung \(\Delta s = (k + \frac{1}{2}) \cdot \lambda \) mit \(k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;...} \right\}\) für Destruktive Interferenz (Auslöschung) und damit Dunkelheit ergibt sich
\[2 \cdot d \cdot \sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}(\varepsilon )}  - \frac{\lambda }{2} = (k + \frac{1}{2}) \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;...} \right\}\]
  Aus der Bedingung \(\Delta s = (k + \frac{1}{2}) \cdot \lambda \) mit \(k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;...} \right\}\) für Destruktive Interferenz (Auslöschung) und damit Dunkelheit ergibt sich
\[2 \cdot d \cdot \sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}(\varepsilon )}  = (k + \frac{1}{2}) \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;...} \right\}\]