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Aufgabe

Antireflexbeschichtung

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Vergütete Linsen erkennt man meist daran, dass sie "rötlich-blau" erscheinen.

Man kann die Lichtreflexion einer Glasoberfläche stark herabsetzen, wenn man die Oberfläche mit einer dünnen ein- oder mehrlagigen Schicht aus transparentem Material von geeignetem Brechungsindex überzieht. Die an den Schichtgrenzen reflektierten Wellen können sich praktisch aufheben. Die Schichten werden im Vakuum aufgedampft. Genutzt wird dies bspw. bei der Antireflexbeschichtung von Brillen. Den technischen Prozess nennt man Vergüten.

Berechnen Sie den Brechungsindex \(n_2\) und die Dicke \(d\) der sog. Vergütungsschicht, die für senkrechten Lichtauffall und für \(500,0{\rm{nm}}\) Reflexionsfreiheit bei Glas mit dem Brechungsindex \(n_3 = 1,5\) ergibt.

Hinweise:

Es wird vereinfachend angenommen, dass Strahl 1 beim Übergang vom Medium 1 nach Medium 2 nicht geschwächt wird.

Bei senkrechtem Einfall von Licht auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien a und b gilt der sogenannten Reflexionskoeffizient \(r\)
\[r = \frac{\text{Intensität des reflektierten Strahls}}{\text{Intensität des einfallenden Strahls}} = \left(\frac{n_a-n_b}{n_a + n_b}\right)^2\]

 
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Berechnung des Brechungsindex der Vergütungsschicht

Auslöschung tritt ein, wenn die Intensität der an der Grenzschicht 1-2 reflektierten Strahlung gleich der Intensität der an der Grenzschicht 2-3 reflektierten Strahlung ist:
\[{r_{12}} = {r_{23}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{n_2} - {n_1}}}{{{n_2} + {n_1}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{n_3} - {n_2}}}{{{n_3} + {n_2}}}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{n_2} - {n_1}}}{{{n_2} + {n_1}}} =  \pm \frac{{{n_3} - {n_2}}}{{{n_3} + {n_2}}}\]
1. Fall: Es gelte das Pluszeichen
\[{{n_2} \cdot {n_3} + n_2^2 - {n_1} \cdot {n_3} - {n_1} \cdot {n_2} = {n_2} \cdot {n_3} - n_2^2 + {n_1} \cdot {n_3} - {n_1} \cdot {n_2} \Leftrightarrow n_2^2 = {n_1} \cdot {n_3} \Rightarrow {n_2} = \sqrt {{n_1} \cdot {n_3}}  \Rightarrow {n_2} = \sqrt {1 \cdot 1,5}  = 1,22}\]
2. Fall: Es gelte das Minuszeichen
\[{\frac{{{n_2} - {n_1}}}{{{n_2} + {n_1}}} =  - \frac{{{n_3} - {n_2}}}{{{n_3} + {n_2}}} \Leftrightarrow {n_2} \cdot ({n_3} - {n_1}) = 0 \Leftrightarrow {n_2} = 0 \vee {n_3} = {n_1}}\]
\(n_2=0\) ist physikalisch unmöglich, \(n_3=n_1\) würde bedeuten, dass Glas den gleichen Brechungsindex wie Luft hätte. Man sieht also, dass der 2. Fall keine physikalisch sinnvollen Lösungen liefert.

Insgesamt gilt also: \(n_1=1<n_2=1,22<n_3=1,5\)

Berechnung der Dicke der Vergütungsschicht

Sowohl der Strahl 1 als auch der Strahl 2 erleiden bei der Reflexion einen Phasensprung. Somit kann dieser bei der Berechnung des Gangunterschiedes entfallen und es gilt
\[ \Delta s = 2 \cdot d \cdot n_2 \]
Für das Minimum 1. Ordnung gilt dann (dünnste Schicht)
\[\frac{\lambda }{2} = 2 \cdot d \cdot {n_2} \Leftrightarrow d = \frac{\lambda }{{4 \cdot {n_2}}} \Rightarrow d = \frac{{500{\rm{nm}}}}{{4 \cdot 1,22 = 102}}{\rm{nm }}\]
Hinweis: Natürlich ist es nicht möglich, mit einer einzigen Schicht eine Oberfläche bezüglich des gesamten sichtbaren Spektrums zu vergüten. Ist die Schicht für grünes Licht optimiert, so ist sie zu dünn für rotes Licht und zu dick für blaues Licht. Diese Anteile des Spektrums werden also teilweise reflektiert und geben der Schicht im reflektierten Licht den typischen rötlich-blauen Ton.