Berechnung des Brechungsindex der Vergütungsschicht
Auslöschung tritt ein, wenn die Intensität der an der Grenzschicht 1-2 reflektierten Strahlung gleich der Intensität der an der Grenzschicht 2-3 reflektierten Strahlung ist:
\[{r_{12}} = {r_{23}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{n_2} - {n_1}}}{{{n_2} + {n_1}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{n_3} - {n_2}}}{{{n_3} + {n_2}}}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{n_2} - {n_1}}}{{{n_2} + {n_1}}} = \pm \frac{{{n_3} - {n_2}}}{{{n_3} + {n_2}}}\]
1. Fall: Es gelte das Pluszeichen
\[{{n_2} \cdot {n_3} + n_2^2 - {n_1} \cdot {n_3} - {n_1} \cdot {n_2} = {n_2} \cdot {n_3} - n_2^2 + {n_1} \cdot {n_3} - {n_1} \cdot {n_2} \Leftrightarrow n_2^2 = {n_1} \cdot {n_3} \Rightarrow {n_2} = \sqrt {{n_1} \cdot {n_3}} \Rightarrow {n_2} = \sqrt {1 \cdot 1{,}5} = 1{,}22}\]
2. Fall: Es gelte das Minuszeichen
\[{\frac{{{n_2} - {n_1}}}{{{n_2} + {n_1}}} = - \frac{{{n_3} - {n_2}}}{{{n_3} + {n_2}}} \Leftrightarrow {n_2} \cdot ({n_3} - {n_1}) = 0 \Leftrightarrow {n_2} = 0 \vee {n_3} = {n_1}}\]
\(n_2=0\) ist physikalisch unmöglich, \(n_3=n_1\) würde bedeuten, dass Glas den gleichen Brechungsindex wie Luft hätte. Man sieht also, dass der 2. Fall keine physikalisch sinnvollen Lösungen liefert.
Insgesamt gilt also: \(n_1=1<n_2=1{,}22<n_3=1{,}5\)
Berechnung der Dicke der Vergütungsschicht
Sowohl der Strahl 1 als auch der Strahl 2 erleiden bei der Reflexion einen Phasensprung. Somit kann dieser bei der Berechnung des Gangunterschiedes entfallen und es gilt
\[ \Delta s = 2 \cdot d \cdot n_2 \]
Für das Minimum 1. Ordnung gilt dann (dünnste Schicht)
\[\frac{\lambda }{2} = 2 \cdot d \cdot {n_2} \Leftrightarrow d = \frac{\lambda }{{4 \cdot {n_2}}} \Rightarrow d = \frac{{500{\rm{nm}}}}{{4 \cdot 1{,}22}} = 102\,{\rm{nm }}\]
Hinweis: Natürlich ist es nicht möglich, mit einer einzigen Schicht eine Oberfläche bezüglich des gesamten sichtbaren Spektrums zu vergüten. Ist die Schicht für grünes Licht optimiert, so ist sie zu dünn für rotes Licht und zu dick für blaues Licht. Diese Anteile des Spektrums werden also teilweise reflektiert und geben der Schicht im reflektierten Licht den typischen rötlich-blauen Ton.
