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Aufgabe

NEWTONsche Ringe

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Bei der skizzierten Anordnung wird das einfallende Licht mittels eines halbdurchlässigen Spiegels auf eine plankonvexe Linse mit großem Krümmungsradius \(R\) gelenkt. Diese Linse liegt auf einer planparallelen Platte. Mit einer Lupe können die auftretenden NEWTON-Ringe beobachtet werden.

a) Erklären Sie qualitativ anhand einer Schnittzeichnung, wie es zum Auftreten der NEWTON-Ringe kommt.

Zur Bestimmung des Krümmungsradius \(R\) der Plankonvex-Linse wird die Anordnung mit dem Licht einer Natrium-Dampflampe (\(\lambda  = 489{\rm{nm}}\)) bestrahlt. Dabei ergaben sich die folgenden Messwerte (\(r\): Radius eines NEWTON-Rings).

Ringnummer \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(r\;\rm{in\;mm}\) \(0{,}70\) \(1{,}20\) \(1{,}55\) \(1{,}85\) \(2{,}10\)

b) Entwickeln Sie die Beziehung
\[R = \frac{r_{n+k}^2 - r_{n}^2}{k \cdot \lambda}\]
Dabei ist \(r_{n+k}\) der Radius des Rings mit der Nummer \({n+k}\) (Zählung beginnt im Zentrum) und \(r_{n}\)der Radius des Rings mit der Nummer \(n\).

Hinweis: In der Praxis ist die jeweilig Nummer des Rings - insbesondere im Kernbereich der Interferenzfigur - oft nicht eindeutig feststellbar. Daher ist es für die Auswertung oft geschickter für die Versuchsauswertung einen äußeren Bereich der Interferenzfigur auszuwählen, in dem die Ringe deutlich erkennbar sind.

c) Berechnen Sie mit den obigen Messwerten den Krümmungsradius \(R\) der Linse. Bestimmen Sie die Genauigkeit und vergleichen Sie ihr Ergebnis mit dem vom Hersteller genannten Wert von \(R = 2000\,{\rm{mm}}\).

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a) Der eintreffende Lichtstrahl wird sowohl an der Unterseite der Linse als auch an der Oberfläche der Glasplatte reflektiert.
Bei der Reflexion an der Glasplatte tritt ein Phasensprung von π auf. Zwischen den beiden Strahlen 1 und 2 kommt es zur Interferenz.

b) Mit Hilfe des Höhensatzes erhält man in dem rechtwinkligen, gelb markierten Dreieck
\[r_n^2 = {d_n} \cdot \left( {2 \cdot R - {d_n}} \right)\]
Mit \({R\, \gg {d_n}}\) ergibt sich
\[r_n^2 \approx {d_n} \cdot 2 \cdot R\quad (1)\] Für den Gangunterschied der Strahlen 1 und 2, die zum \(n\)-ten Maximum beitragen, gilt
\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta {s_n} = 2 \cdot {d_n} + \frac{\lambda }{2}}\\{\Delta {s_n} = n \cdot \lambda }\end{array}} \right\} \Rightarrow n \cdot \lambda  = 2 \cdot {d_n} + \frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow 2 \cdot {d_n} = \lambda  \cdot \left( {n - \frac{1}{2}} \right)\quad (2)\]
Setzt man \((2)\) in \((1)\), so erhält man
\[r_n^2 \approx \lambda  \cdot \left( {n - \frac{1}{2}} \right) \cdot R\quad (3)\]
Da die Nummer \(n\) eines Rings oft nicht eindeutig erkennbar ist (Unschärfen im Kernbereich), benutzt man eine Differenzmessung bei Ringradien, die aus einem scharfen Bereich der Interferenzfigur stammen:
Analog zu Formel \((3)\) gilt für einen Ring mit der Nummer \(n+k\)
\[r_{n + k}^2 \approx \lambda  \cdot \left( {n + k - \frac{1}{2}} \right) \cdot R\quad (4)\]
Subtrahiert man von Gleichung \((4)\) die Gleichung \((3)\), so erhält man
\[r_{n + k}^2 - r_n^2 \approx \lambda  \cdot R \cdot \left[ {\left( {n + k - \frac{1}{2}} \right) - \left( {n - \frac{1}{2}} \right)} \right] = \lambda  \cdot R \cdot k \Rightarrow R = \frac{{r_{n + k}^2 - r_n^2}}{{\lambda  \cdot k}}\]

c) Mit Hilfe dieser Beziehung kann \(R\) für verschiedene "Ringkombinationen" bestimmt werden. Aufgrund der Messgenauigkeit sind dabei drei Ziffern gültig.

\(n + k = 5\) \(n = 4\) \(k = 1\) \(r_{n+k} = 2{,}10\,\rm{mm}\) \(r_n= 1{,}85\,\rm{mm}\) \(R_{54} \approx 2020\,\rm{mm}\)
\(n + k = 5\) \(n = 3\) \(k = 2\) \(r_{n+k}= 2{,}10\,\rm{mm}\) \(r_n= 1{,}55\,\rm{mm}\) \(R_{53} \approx 2020\,\rm{mm}\)
\(n + k = 5\) \(n = 2\) \(k = 3\) \(r_{n+k}= 2{,}10\,\rm{mm}\) \(r_n= 1{,}20\,\rm{mm}\) \(R_{52} \approx 2000\,\rm{mm}\)
\(n + k = 5\) \(n = 1\) \(k = 4\) \(r_{n+k}= 2{,}10\,\rm{mm}\) \(r_n= 0{,}70\,\rm{mm}\) \(R_{51} \approx 2000\,\rm{mm}\)

Als Mittelwert ergibt sich für den Radius der plankonvexen Linse \(\bar{R} \approx 2010\,\rm{mm} \pm 0,5\%\). Das Messergebnis stimmt also sehr gut mit den Herstellerangaben überein.