a)\[\begin{array}{I} 2 a = r_P + r_A \Rightarrow a = 0,5 \cdot (r_P + r_A) \Rightarrow a = 0,5 \cdot (29,0 AE + 50,0 AE) = 39,5 AE \\
\frac{T_P^2}{T_E^2} = \frac{a_P^3}{a_E^3} \Rightarrow T_P = \sqrt{\frac{a_P^3}{a_E^3}} \cdot T_E \Rightarrow T_P = \sqrt{39,5^3} \cdot 1a = 248 a \end{array}\]
b)Die Skizze ergibt sich zu
c)Für den größten Abstand \(d\) gilt\[ d = r_A \cdot \sin{\alpha}\] \[\Rightarrow d = 50{,}0\,\rm{AE} \cdot \sin{17^\circ} = 14{,}5\,\rm{AE}\]
d)Siehe Skizze von b). Neptun hat einen Kreissektor von \(2\cdot 34^{\circ}\) außerhalb der Plutobahn \[ \Rightarrow t = \frac{2 \cdot 34}{360} \cdot 164{,}8\,\rm{a} = 31\,\rm{a} \]
e)Es gilt \[ v_{Pl, P} = \sqrt{G \cdot M \cdot \left( \frac{2}{r_{Pl, P}} - \frac{1}{a_P} \right) }\quad \text{und} \quad v_N = \sqrt{ G \cdot M \cdot \frac{1}{a_N} }\] \[\Rightarrow \frac{v_{Pl, P}}{v_N} = \sqrt{ \frac{ \frac{2}{r_{Pl, P}} - \frac{1}{a_P} }{ \frac{1}{a_N} } } \Rightarrow \frac{v_{Pl, P}}{v_N} = \sqrt{ \frac{ \frac{2}{29} - \frac{1}{39,5} }{ \frac{1}{30,1} } } = 1{,}15 \] Pluto hat den geringeren Weg (Innenbahn) und die größere Geschwindigkeit und braucht deshalb geringere Zeit als Neptun.
f)Die Solarkonstante am Pluto beträgt im Perihel\[S_{Pl} = \frac{L}{4 \pi r_P^2} \Rightarrow S_{Pl} = \frac{ 3,82 \cdot 10^{26} W }{ 4 \cdot (29 \cdot 1,5 \cdot 10^{11} m)^2 \cdot \pi } = 1{,}6\,\rm{\frac{W}{m^2}}\] Für das Strahlungsgleichgewicht gilt: \[S_{Pl} \cdot R_{Pl}^2 \cdot \pi \cdot (1 - A) = 4 \cdot \pi \cdot R_{Pl}^2 \cdot \sigma \cdot T^4 \Rightarrow T = \sqrt[4]{ \frac{ S_{Pl} \cdot (1 - A) }{ 4 \cdot \sigma } }\Rightarrow T = \sqrt[4]{ \frac{ 1,6 \frac{W}{m^2} \cdot (1-0,63) }{ 4 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{W}{m^2 K^4} } } = 40\,\rm{K} \]
g)Es gilt\[\frac{T^2}{r^3} = \frac{4 \pi^2}{G \cdot (m_1 + m_2)} \Rightarrow m_{Pl} + m_{Ch} = \frac{ 4 \pi^2 r^3 }{G \cdot T^2} \] \[\Rightarrow m_{Pl} + m_{Ch} = \frac{ 4 \cdot \pi^2 \cdot (2 \cdot 10^7 m)^3 }{ 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot (6,4 \cdot 24 \cdot 3600s)^2 } = 1{,}5 \cdot 10^{22}\,\rm{kg} = 2,5 \cdot 10^{-3} M_E \]
g)Für die Fluchtgeschwindigkeit gilt \[\frac{G \cdot m \cdot M}{r} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\] \[\Rightarrow v = \sqrt{ \frac{2 \cdot G \cdot M}{r} } \Rightarrow v = \sqrt{ \frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot 1,4 \cdot 10^{22} kg }{0,17 \cdot 6,368 \cdot 10^6 m} } = 1{,}3 \cdot 10^3\,\rm{\frac{m}{s}}\] Die Fluchtgeschwindigkeit ist 5 mal größer als die Geschwindigkeit \(v=2{,}6\cdot 10^2\,\rm{\frac{m}{s}}\) der Methanmoleküle. Somit ist kein Verlassen möglich.