Eine Spule mit der Eigeninduktivität \(L\) und dem Gleichstromwiderstand \(R_0\) liegt mit einem ohmschen Widerstand \({R_1} = 30\Omega \) in Reihe. Der ohmsche Widerstand des Strommessgeräts wird vernachlässigt.
Zunächst wird eine Gleichspannung \({U_{\rm{G}}} = 12,0{\rm{V}}\) angelegt. Dabei ist die Stromstärke konstant \({I_{\rm{G}}} = 286{\rm{mA}}\). Anschließend legt man eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert \({U_{{\rm{eff}}}} = 12,0{\rm{V}}\) und der Frequenz \({f_1} = 85,0{\rm{Hz}}\) an. Nun misst man die Stromstärke \({I_{{\rm{eff,1}}}} = 261{\rm{mA}}\).
a)Berechne den Wechselstromwiderstand \(X\) der Schaltung, den Gleichstromwiderstand \(R_0\) der Spule und ihre Eigeninduktivität \(L\). [Kontrollergebnisse: \(L = 35{\rm{mH}}\), \({R_0} = 12\Omega \)]
b)Bestimme die Wirkleistung in diesem Stromkreis.
An die Anordnung wird wieder die sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert \({U_{{\rm{eff}}}} = 12,0{\rm{V}}\), aber nun variabler Frequenz angelegt.
c)Berechne die effektive Stromstärke \({I_{{\rm{eff}}{\rm{,2}}}}\) und die Effektivwerte der beiden Teilspannungen \({U_{Sp}}\) an der Spule sowie \({U_{{\rm{R1}}}}\) am Widerstand \(R_1\), wenn die Frequenz der Wechselspannung \({f_2} = 200{\rm{Hz}}\) beträgt.
d)Untersuche, für welche Frequenzen Teilspannung \({U_{Sp}}\) an der Spule größer als die am ohmschen Widerstand \(R_1\) ist.
e)Erläutere, gegen welche Werte die Teilspannungen \({U_{Sp}}\) und \({U_{{\rm{R1}}}}\) für sehr kleine und sehr große Frequenzen streben.
An die Anordnung ist wieder die sinusförmige Wechselspannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) mit dem Effektivwert \({U_{{\rm{eff}}}} = 12,0{\rm{V}}\) und der Frequenz \({f_2} = 200{\rm{Hz}}\) angelegt; es fließt wieder der Strom \({I_{{\rm{eff,2}}}}\). Der zeitliche Verlauf der angelegten Spannung \(U(t)\) und die Teilspannung \({U_{{\rm{R1}}}}(t)\) am ohmschen Widerstand werden auf einem Zweikanal-Oszilloskop dargestellt. Die Empfindlichkeit ist auf beiden Kanälen auf \(5\frac{{\rm{V}}}{{{\rm{cm}}}}\) eingestellt. Auf dem \(10\rm{cm}\) breiten Bildschirm ist von \(U(t)\) genau eine Periode zu sehen.
f)Gib an, welche horizontale Zeitablenkung in \(\frac{{\rm{cm}}}{{{\rm{s}}}}\) ist auf dem Oszilloskop gewählt ist.
g)Zeichne in ein Koordinatensystem das \(U(t)\)-Diagramm und das \({U_{{\rm{R1}}}}(t)\) - Diagramm im gleichen Maßstab wie auf dem Bildschirm des Oszilloskops.
Nun wird an die Anordnung ein Kondensator der Kapazität \(C = 500{\rm{nF}}\) in Reihe dazu geschaltet. Die angelegte Wechselspannung hat weiterhin den Effektivwert \({U_{{\rm{eff}}}} = 12,0{\rm{V}}\). Im Experiment soll nun das Resonanzverhalten einer solchen Reihenschaltung gezeigt werden.
h)In einem ersten Versuch variiert man die Frequenz \(f\). Berechne, bei welcher Frequenz die Stromstärke ihren größten Wert erreicht.
i)In einem zweiten Versuch soll die Resonanz durch Variieren der Eigeninduktivität \(L\) der Spule erzielt werden. Dabei hält man die Frequenz konstant bei \({f_2} = 200{\rm{Hz}}\). Durch Einschieben eines Eisenkerns in die Spule kann deren Eigeninduktivität bis zum sechsfachen Wert gesteigert werden. Zeige, dass bei diesem Versuch der Resonanzfall nicht erreicht wird.
j)Die Frequenz der Wechselspannung soll nun so gewählt werden, dass während des Einschiebens des Eisenkerns der Resonanzeffekt beobachtet werden kann. Gib einen geeigneten Wert \({f_3}\) an und begründe deine Angabe.
e)Für sehr kleine Frequenzen teilt sich die Gesamtspannung im Verhältnis der beiden ohmschen Widerstände auf; es gilt\[{U_{{\rm{Sp}}}} = \frac{{12,0\Omega }}{{42,0\Omega }} \cdot 12,0{\rm{V}} = 3,43{\rm{V}}\]und damit\[{U_{{\rm{R1}}}} = 12,0{\rm{V}} - 3,43{\rm{V}} = 8,57{\rm{V}}\]Für sehr große Frequenzen wird der Spulenwiderstand sehr groß gegen den Widerstand \(R_1\), so dass praktisch die gesamte Spannung an der Spule abfällt, am Widerstand \(R_1\) fällt dann keine Spannung mehr ab.
f)Der \(10c\rm{m }\) breite Bildschirm wird in der Zeit \(T = \frac{1}{{{f_2}}} = \frac{1}{{200{\rm{Hz}}}} = 5{\rm{ms}}\) durchlaufen. Daraus ergibt sich eine horizontale Zeitablenkung (Geschwindigkeit) \(v = \frac{{10{\rm{cm}}}}{{5 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{s}}}} = 2000\frac{{{\rm{cm}}}}{{\rm{s}}}\).
g)Die Gesamtspannung U(t) läuft der Teilspannung UR1(t) um den Phasenwinkel φ voraus (Siehe Diagramm). Den Phasenwinkel φ erhält man aus der Beziehung\[\tan \left( \varphi \right) = \frac{{2 \cdot \pi \cdot f \cdot L}}{{{R_0} + {R_1}}} \Rightarrow \tan \left( \varphi \right) = \frac{{2 \cdot \pi \cdot 200{\rm{Hz}} \cdot 0,0350{\rm{H}}}}{{42,0\Omega }} = 1,047 \Rightarrow \varphi = 46,3^\circ \]\[\hat U = 12,0{\rm{V}} \cdot \sqrt 2 = 17,0{\rm{V}} \buildrel \wedge \over = 3,4{\rm{cm}}\]\[{{\hat U}_{{\rm{R1}}}} = 5,91{\rm{V}} \cdot \sqrt 2 = 8,36{\rm{V}} \buildrel \wedge \over = 1,7{\rm{cm}}\]\[46,3^\circ \buildrel \wedge \over = \frac{{46,3^\circ }}{{180^\circ }} \cdot 5{\rm{cm}} = 1,28{\rm{cm}}\]Damit erhält man
h)Im Resonanzfall ist der Wechselstromwiderstand von Spule und Kondensator gleich groß; damit ergibt sich die THOMSON-Formel\[\omega \cdot L = \frac{1}{{\omega \cdot C}} \Leftrightarrow {\omega ^2} = \frac{1}{{L \cdot C}} \Rightarrow \omega = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow 2 \cdot \pi \cdot f = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \Leftrightarrow f = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot \sqrt {L \cdot C} }}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot \sqrt {0,0350{\rm{H}} \cdot 500 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{F}}} }} = 1200{\rm{Hz}}\]
i)Für den Resonanzfall muss die THOMSON-Formel gelten. Aufgelöst nach \(L\) ergibt sich\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot \sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow L = \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot \pi \cdot f} \right)}^2} \cdot C}} \Rightarrow L = \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot \pi \cdot 200{\rm{Hz}}} \right)}^2} \cdot 500 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{F}}}} = 1,27{\rm{H}}\]Dies ist wesentlich größer als \({6 \cdot 0,0350{\rm{H}} = 0,210{\rm{H}}}\).
j)Die Resonanzfrequenz darf ohne Eisenkern noch nicht erreicht werden, das wäre bei \(1200{\rm{Hz}}\) (siehe Teilaufgabe h)). Mit Eisenkern wäre die Induktivität 6 mal so hoch, die Eigenfrequenz wäre dann \({1200{\rm{Hz}}:\sqrt 6 = 490{\rm{Hz}}}\). Die Für den Versuch geeignete Frequenz müsste also zwischen diesen beiden Werten, z. B. bei \(f_3= 700\rm{Hz}\) liegen.
