An eine Serienschaltung eines Widerstandes mit \(R = 1,0{\rm{k\Omega }}\) mit einem Kondensator mit \(C = 4,0{\rm{\mu F}}\) wird eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert \({U_{{\rm{eff}}{\rm{,1}}}} = 50{\rm{V}}\) und \({f_1} = \frac{{50}}{{2 \cdot \pi }}{\rm{Hz}}\) angeschlossen.
a)Berechne mit Hilfe eines geeigneten Zeigerdiagramms (Planfigur) den Effektivwert des im Kreis fließenden Stroms und gib dessen Phasenverschiebung zur angelegten Wechselspannung an.
Zur Spannungsquelle von Teilaufgabe a) wird eine zweite Quelle in Serie geschaltet (\({U_{{\rm{eff}}{\rm{,2}}}} = 8,0{\rm{V}}\); \({f_2} = \frac{{1500}}{{2 \cdot \pi }}{\rm{Hz}}\)) und die Spannung am Widerstand mit dem Oszilloskop dargestellt.
b)Entscheide, welches der folgenden Signale am Oszilloskop zu erwarten ist und gib für deine Entscheidung eine plausible Begründung.
a)Man beginnt das Zeigerdiagramm mit der Größe, die beiden Elementen gemeinsam ist: In diesem Fall ist dies der Strom:\[{{{\hat U}_{{\rm{RC}}}} = \sqrt {{{\hat U}_{\rm{R}}} + {{\hat U}_{\rm{C}}}} \; = \sqrt {{{\left( {\hat I \cdot R} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\hat I}}{{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}}} \right)}^2}} = \hat I \cdot \sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}}} \right)}^2}} }\]Damit erhält man\[{\hat I = \frac{{{{\hat U}_{{\rm{RC}}}}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}}} \right)}^2}} }} \Rightarrow {I_{{\rm{eff}}}} = \frac{{{{\hat U}_{{\rm{RC}}{\rm{, eff}}}}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}}} \right)}^2}} }}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{I_{{\rm{eff}}}} = \frac{{50{\rm{V}}}}{{\sqrt {{{\left( {1,0 \cdot {{10}^3}\Omega } \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot \frac{{50}}{{2 \cdot \pi }}{\rm{Hz}} \cdot 4,0 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{F}}}}} \right)}^2}} }}= 9,8{\rm{mA}}}\]\[{\tan \left( {\Delta \varphi } \right) = \frac{{{{\hat U}_{\rm{C}}}}}{{{{\hat U}_{\rm{C}}}}} = \frac{{\hat I \cdot \frac{1}{{\omega \cdot C}}}}{{\hat I \cdot R}} = \frac{1}{{\omega \cdot C \cdot R}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\tan \left( {\Delta \varphi } \right) = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot \frac{{50}}{{2 \cdot \pi }}{\rm{Hz}} \cdot 4,0 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{F}} \cdot 1,0 \cdot {{10}^3}\Omega }} = 5,0 \Rightarrow \Delta \varphi = 78^\circ }\]
b)Die Anordnung stellt einen Hochpass dar. Am Oszilloskop wird ein Bild vom Typ b auftreten.
Der ohmsche Widerstand ist frequenzunabhängig. Der Kondensator stellt für hohe Frequenzen einen niedrigen Widerstand, für niedrigere Frequenzen einen hohen Widerstand dar. Deshalb tritt eine relative Anhebung des hochfrequenten Anteils am Widerstand statt (vom hochfrequenten Anteil fällt mehr Spannung am ohmschen Widerstand als am Kondensator ab).
