In einem Experiment werden Elektronen mit einer Beschleunigungsspannung von \(U_{\rm{B}} = 2{,}50\,\rm{kV}\) beschleunigt.
a)
Weise rechnerisch nach, dass die Geschwindigkeit der Elektronen weniger als \(10\%\) der Lichtgeschwindigkeit beträgt und deshalb klassisch gerechnet werden darf.
b)
Leite einen Term her, mit dem sich die de-BROGLIE-Wellenlänge dieser Elektronen aus der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) berechnen lässt.
c)
Berechne die de-BROGLIE-Wellenlänge dieser Elektronen.
Am Ende der Beschleunigungsstrecke der Elektronen hat sich die elektrische Energie \(E_{\rm{el}}=e \cdot U_{\rm{B}}\) vollständig in kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}= \frac{1}{2} \cdot m_{\rm{e}} \cdot v^2\) umgewandelt. Deshalb gilt\[e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v^2} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}}} \]Mit \(e=1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\rm{A\,s}\), \(U_{\rm{B}} = 2{,}50\,\rm{kV}=2{,}50 \cdot 10^3\,\rm{V}\) und \(m_{\rm{e}}=9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) erhalten wir (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}\, {\rm{A}\,\rm{s}} \cdot 2{,}50 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}}}{{9{,}109 \cdot {{10}^{ - 31}}\,{\rm{kg}}}}} = 2{,}97 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Wegen\[\frac{v}{c} = \frac{{2{,}97 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3{,}00 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0{,}0990 < 0{,}1\]beträgt diese Geschwindigkeit weniger als \(10\%\) der Lichtgeschwindigkeit, es darf also klassisch gerechnet werden.
b)
Wir nutzen erneut, dass sich am Ende der Beschleunigungsstrecke der Elektronen die elektrische Energie \(E_{\rm{el}}=e \cdot U_{\rm{B}}\) vollständig in kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}= \frac{1}{2} \cdot m_{\rm{e}} \cdot v^2\) umgewandelt hat. Deshalb gilt\[e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v^2} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}}} \]Setzen wir diesen Term für \(v\) in die (klassische) Formel\[{\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{h}{{m \cdot v}}\]für die de-BROGLIE-Wellenlänge ein und beachten, dass für den Fall von Elektronen in der Formel \(m=m_{\rm{e}}\) gilt, so erhalten wir\[{\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{h}{{{m_{\rm{e}}} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}}} }} = \frac{h}{{\sqrt {\frac{{{m_{\rm{e}}}^2 \cdot 2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}}} }} = \frac{h}{{\sqrt {2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}} }}\]
c)
Mit der Formel\[{\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{h}{{\sqrt {2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}} }}\]aus Aufgabenteil b) erhalten wir mit \(h = 6{,}626 \cdot {10^{-34}}\,{\rm{J\,s}}\), \(e=1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\rm{A\,s}\), \(U_{\rm{B}} = 2{,}50\,\rm{kV}=2{,}50 \cdot 10^3\,\rm{V}\) und \(m_{\rm{e}}=9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) beim Einsetzen (mit drei gültigen Ziffern Ganauigkeit)\[{\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{{6{,}626 \cdot {{10}^{ - 34}}\,{\rm{J}}\, {\rm{s}}}}{{\sqrt {2 \cdot 9{,}109 \cdot {{10}^{ - 31}}\, {\rm{kg}} \cdot 1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}\, {\rm{A}}\, {\rm{s}} \cdot 2{,}50 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}} }} = 2{,}45 \cdot {10^{ - 11}}\,{\rm{m}} = 24{,}5\,{\rm{pm}}\]
