Quantenobjekt Elektron

Aufgabe

de-BROGLIE-Wellenlänge - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben zur de-BROGLIE-Wellenlänge zu lösen musst du häufig die Gleichung nach einer Größe auflösen, die unbekannt ist. Wie du das machen kannst, siehst du in der folgenden Animation.

Auflösen von\[{{\lambda_{\rm{DB}}}} = \frac{{{h}}}{{{m}} \cdot {{v}}}\]nach ...

Die Gleichung\[{\color{Red}{{\lambda_{\rm{DB}}}}} = \frac{{{h}}}{{{m}} \cdot {{v}}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{{\lambda_{\rm{DB}}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.

Um die Gleichung\[{{\lambda_{\rm{DB}}}} = \frac{{\color{Red}{{h}}}}{{{m}}\cdot {{v}}}\]nach \({\color{Red}{{h}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{\color{Red}{{h}}}}{{{m}}\cdot {{v}}} = {{\lambda_{\rm{DB}}}}\]

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{m}}\cdot {{v}}\). Kürze direkt das \({{m}}\cdot {{v}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{h}}} = {{\lambda_{\rm{DB}}}} \cdot {{m}} \cdot {{v}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{h}}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{\lambda_{\rm{DB}}}} = \frac{{{h}}}{{\color{Red}{{m}}}\cdot {{v}}}\]nach \({\color{Red}{{m}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({\color{Red}{{m}}}\). Kürze direkt das \({\color{Red}{{m}}}\) auf der rechten Seite der Gleichung.\[{{\lambda_{\rm{DB}}}} \cdot {\color{Red}{{m}}} = \frac{{{h}}}{{{v}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{\lambda_{\rm{DB}}}}\). Kürze direkt das \({{\lambda_{\rm{DB}}}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{m}}} = \frac{{{h}}}{{{v}} \cdot {{\lambda_{\rm{DB}}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{m}}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{\lambda_{\rm{DB}}}} = \frac{{{h}}}{{{m}} \cdot {\color{Red}{{v}}}}\]nach \({\color{Red}{{v}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({\color{Red}{{v}}}\). Kürze direkt das \({\color{Red}{{v}}}\) auf der rechten Seite der Gleichung.\[{{\lambda_{\rm{DB}}}} \cdot {\color{Red}{{v}}} = \frac{{{h}}}{{{m}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{\lambda_{\rm{DB}}}}\). Kürze direkt das \({{\lambda_{\rm{DB}}}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{v}}} = \frac{{{h}}}{{{m}} \cdot {{\lambda_{\rm{DB}}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{v}}}\) aufgelöst.

Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für die de-BROGLIE-Wellenlänge nach den vier in der Formel auftretenden Größen

Ein Elektron bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von \(2{,}50 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).

Berechne die de-BROGLIE-Wellenlänge des Elektrons.

Bei Elektronen mit einer Geschwindigkeit von \(3{,}0 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) misst man eine de-BROGLIE-Wellenlänge von \(24\,\rm{pm}\).

Berechne daraus einen Wert für das PLANCKsche Wirkungsquantum.

Bei einem radioaktiven Zerfall verlassen Teilchen das Präparat mit einer Geschwindigkeit von \(2{,}8 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). Man misst eine de-BROGLIE-Wellenlänge von \(0{,}014\,\rm{pm}\).

Berechne die Masse der Teilchen.

Beim radioaktiven Zerfall von Rhenium-187 misst man Elektronen mit einer de-BROGLIE-Wellenlänge von \(24{,}6\,\rm{pm}\).

Berechne die Geschwindigkeit der Elektronen.

Lösung

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Vorlesen

Mit \(h = 6{,}63 \cdot {10^{-34}}\,{\rm{J\,s}}\), \(m=m_{\rm{e}}=9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) und \(v=2{,}50 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) nutzen wir die Formel für die de-BROGLIE-Wellenlänge\[\lambda_{\rm{DB}} = \frac{h}{m \cdot v}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda_{\rm{DB}} = \frac{ 6{,}63 \cdot {10^{-34}}\,{\rm{J\,s}}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg} \cdot 2{,}50 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} = 2{,}91 \cdot {10^{-11}}\,{\rm{m}} = 29{,}1 \cdot {10^{-12}}\,{\rm{m}} = 29{,}1\,{\rm{pm}}\]

Mit \(\lambda = 24\,\rm{pm}=24 \cdot 10^{-12}\,\rm{m}\), \(m=m_{\rm{e}}=9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) und \(v=3{,}0 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) erhalten wir mit der Formel für die de-BROGLIE-Wellenlänge\[{\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Leftrightarrow h = {\lambda _{{\rm{DB}}}} \cdot m \cdot v\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[h = 24 \cdot 10^{-12}\,\rm{m} \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} = 6{,}6 \cdot {10^{-34}}\,{\rm{J\,s}} \]

Mit \(\lambda = 0{,}014\,\rm{pm}=0{,}014 \cdot 10^{-12}\,\rm{m}\), \(h = 6{,}63 \cdot {10^{-34}}\,{\rm{J\,s}}\) und \(v=2{,}8 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) erhalten wir mit der Formel für die de-BROGLIE-Wellenlänge\[{\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Leftrightarrow m = \frac{h}{{{\lambda _{{\rm{DB}}}} \cdot v}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[m = \frac{6{,}63 \cdot {10^{-34}}\,{\rm{J\,s}}}{0{,}014 \cdot 10^{-12}\,\rm{m} \cdot 2{,}8 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}=1{,}7 \cdot 10^{-27}\,\rm{kg}\]Es könnte sich also um ein Neutron oder ein Proton handeln.

Mit \(\lambda = 24{,}6\,\rm{pm}=24{,}6 \cdot 10^{-12}\,\rm{m}\), \(h = 6{,}63 \cdot {10^{-34}}\,{\rm{J\,s}}\) und \(m=m_{\rm{e}}=9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) erhalten wir mit der Formel für die de-BROGLIE-Wellenlänge\[{\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Leftrightarrow v = \frac{h}{{{\lambda _{{\rm{DB}}}} \cdot m}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v = \frac{6{,}63 \cdot {10^{-34}}\,{\rm{J\,s}}}{24{,}6 \cdot 10^{-12}\,\rm{m} \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}}=2{,}96 \cdot 10^{7}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

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