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Grundwissen

De Broglie Wellenlänge

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die de-Broglie-Wellenlänge ist eine Übertragung von Eigenschaften von Photonen auf Objekte mit Ruhemasse, z.B. Elektronen
  • Die de-Broglie-Wellenlänge für Elektronen berechnest du mittels \(\lambda _{\rm{DB}} = \frac{h}{p_{\rm{e}}} = {\lambda _{DB}} = \frac{h}{{m_{\rm{e}} \cdot v_{\rm{e}}}}\)
  • Im nicht-relativistischen Fall gilt entsprechend \({\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{h}{{{p_{\rm{e}}}}} = \frac{h}{{\sqrt {2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {E_{{\rm{kin}}}}} }}\)
Abb. 1 Louis de Broglie (1892-1987)

Der französische Prinz Louis de BROGLIE stellte in seiner Dissertation "Recherche sur la theorie des quanta" im Jahre 1924 die These auf, dass nicht nur Licht Teilchen- und Wellenaspekte aufweist, sondern auch Elektronen und andere Objekte mit einer von Null verschiedenen Ruhemasse. Diese zunächst sehr spekulative Vermutung konnte 1927 durch DAVISSON und GERMER mit ihren Versuchen zur Elektronenbeugung an Metalloberflächen experimentell bestätigt werden.

Die de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda _{\rm{DB}}\) kann man als Übertragung der Eigenschaften des Photons, einem Quantenobjekt ohne Ruhemasse, auf Quantenobjekte mit Ruhemasse wie z.B. das Elektron ansehen. Ersetzt man nämlich in der bekannten Beziehung für das Photon
\[{{p_{{\rm{Ph}}}} = \frac{h}{\lambda } \Leftrightarrow \lambda  = \frac{h}{{{p_{{\rm{Ph}}}}}}}\]
den Impuls \(p_{\rm{Ph}}\) des Photons durch den Impuls \(p_{\rm{e}} = m_{\rm{e}} \cdot v_{\rm{e}}\) des Elektrons, so erhält man den folgenden, von de-BROGLIE formulierten Ausdruck für die de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda _{\rm{DB}}\).

de-Broglie-Wellenlänge

Ist \(p_{\rm{e}}\) der Impuls des Elektrons, \(m_{\rm{e}}\) seine Masse und \(v_{\rm{e}}\) seine Geschwindigkeit, so ordnet man nach de BROGLIE den "Materiewellen"1 die folgende de-BROGLIE-Wellenlänge zu: \[\lambda _{\rm{DB}} = \frac{h}{p_{\rm{e}}} = {\lambda _{DB}} = \frac{h}{{m_{\rm{e}} \cdot v_{\rm{e}}}}\]

Hinweis: Die obigen Beziehungen sind für Elektronen formuliert, sie gelten analog auch für andere Mikroobjekte wie Protonen, Neutronen usw.

1 Der Ausdruck "Materiewelle" ist nicht sehr glücklich gewählt, da man den Eindruck gewinnen könnte, dass hierbei etwas Materielles schwingt oder sich "wellt". Wir verwenden daher meist den Ausdruck "de-BROGLIE-Welle".

Berechnung der de-BROGLIE-Wellenlänge aus der kinetischen Energie im nichtrelativistischen Fall

Nun soll die de-BROGLIE-Wellenlänge eines Elektrons aus dessen kinetischer Energie bestimmt werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass das Elektron so langsam ist, dass man noch nichtrelativistisch rechnen darf.

Zunächst drückt man den Impuls \(p_{\rm{e}}\) durch die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) des Teilchens aus (nichtrelativistische Energie-Impuls-Beziehung):
\[{{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v_{\rm{e}}}^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v_{\rm{e}}}^2 \cdot \frac{{{m_{\rm{e}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}} = \frac{{{m_{\rm{e}}}^2 \cdot {v_{\rm{e}}}^2}}{{2 \cdot {m_{\rm{e}}}}} = \frac{{{p_{\rm{e}}}^2}}{{2 \cdot {m_{\rm{e}}}}} \Leftrightarrow {p_{\rm{e}}} = \sqrt {2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {E_{{\rm{kin}}}}} }\]
Diesen für den Elektronenimpuls \(p_{\rm{e}}\) gewonnenen Ausdruck setzt man in die Formel für die de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda _{\rm{DB}}\) ein und erhält den oft benutzten Ausdruck

de-BROGLIE-Wellenlänge aus der kinetischen Energie im nichtrelativistischen Fall

\[{\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{h}{{{p_{\rm{e}}}}} = \frac{h}{{\sqrt {2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {E_{{\rm{kin}}}}} }}\]

In der folgenden Tabelle sind die de-BROGLIE-Wellenlängen für Elektronen bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen aufgelistet. Bei den Werten, welche mit einem Stern * versehen sind, wurde relativistisch gerechnet.

 
Elektronen
\[U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\]
\[\frac{v}{c}\]
\[{\lambda _{DB}}\;{\rm{in}}\;{10^{ - 10}}{\rm{m}}\]
0,1
6,3·10-4
39
1
2,0·10-3
12
10
6,3·10-3
3,9
100
2,0·10-2
1,2
1000
6,3·10-2
0,39
10000
0,19*
0,12*
100000
0,55*
0,037*