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Aufgabe

Satellitengeschwindigkeit

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bild eines Jason 1 Satelliten © NASA
Abb. 1 Bild eines Jason 1 Satelliten

Ein Satellit bewegt sich auf einer Ellipsenbahn um die Erde. Sein erdnächster Abstand beträgt \(300\,{\rm{km}}\), sein größter Abstand \(2000\,{\rm{km}}\).

Berechne mit Hilfe des 2. KEPLERschen Gesetzes das Verhältnis der Geschwindigkeiten an diesen Stellen zueinander.

Hinweis: Der Erdradius beträgt \(6370\,{\rm{km}}\) und muss in der Rechnung berücksichtigt werden.

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satellitengeschwindigkeit_loesung.svg
Abb. 2 Lösungsskizze zur Aufgabe

Die Fläche, die der Fahrstrahl Satellit - Erde im Apogäum bzw. Perigäum in einer kleinen Zeitspanne überstreicht ist näherungsweise gleich einer Dreiecksfläche (siehe Abb. 2). Je kleiner die gewählte Zeitspanne ist, deso kleiner ist der Fehler, der durch die Krümmung der Bahn entsteht. Dieser Fehler kann in der folgenden Überlegung beliebig klein angenommen werden.

Das zweite KEPLER'sche Gesetz kann damit folgendermaßen formuliert werden:\[\frac{1}{2} \cdot {r_{\rm{P}}} \cdot {v_{\rm{P}}} \cdot \Delta t = \frac{1}{2} \cdot {r_{\rm{A}}} \cdot {v_{\rm{A}}} \cdot \Delta t \]Daraus ergibt sich \[{r_{\rm{P}}} \cdot {v_{\rm{P}}} = {r_{\rm{A}}} \cdot {v_{\rm{A}}} \Leftrightarrow \frac{{{v_{\rm{P}}}}}{{{v_{\rm{A}}}}} = \frac{{{r_{\rm{A}}}}}{{{r_{\rm{P}}}}} \Rightarrow \frac{{{v_{\rm{P}}}}}{{{v_{\rm{A}}}}} = \frac{{6370\,{\rm{km}} + 2000\,{\rm{km}}}}{{6370\,{\rm{km}} + 300\,{\rm{km}}}} \approx 1{,}25 = \frac{5}{4}\]Die Geschwindigkeiten stehen also im Verhältnis \(5 : 4\).