Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Satellitengeschwindigkeit

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ellipsenbahn um die Erde. Sein erdnächster Abstand beträgt \(300\,{\rm{km}}\), sein größter Abstand \(2000\,{\rm{km}}\).

Berechne mit Hilfe des 2. KEPLERschen Gesetzes das Verhältnis der Geschwindigkeiten an diesen Stellen zueinander.

Hinweis: Der Erdradius beträgt \(6370\,{\rm{km}}\).

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

Die Fläche, die der Fahrstrahl Satellit - Erde im Apogäum bzw. Perigäum in einer kleinen Zeitspanne überstreicht ist näherungsweise gleich einer Dreiecksfläche (siehe Zeichnung). Der durch die Krümmung der Bahn bedingte Fehler ist dabei umso kleiner je kleiner die gewählte Zeitspanne ist. Diese kann in der folgenden Überlegung beliebig klein angenommen werden.

Das zweite KEPLER'sche Gesetz kann damit folgendermaßen formuliert werden: \[\frac{1}{2} \cdot {r_{\rm{P}}} \cdot {v_{\rm{P}}} \cdot \Delta t = \frac{1}{2} \cdot {r_{\rm{A}}} \cdot {v_{\rm{A}}} \cdot \Delta t \]Daraus ergibt sich \[{r_{\rm{P}}} \cdot {v_{\rm{P}}} = {r_{\rm{A}}} \cdot {v_{\rm{A}}} \Leftrightarrow \frac{{{v_P}}}{{{v_A}}} = \frac{{{r_A}}}{{{r_P}}} \Rightarrow \frac{{{v_P}}}{{{v_A}}} = \frac{{6370\,{\rm{km}} + 2000\,{\rm{km}}}}{{6370\,{\rm{km}} + 300\,{\rm{km}}}} \approx 1{,}25 = \frac{5}{4}\] Die Geschwindigkeiten stehen also im Verhältnis \(5 : 4\).