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Aufgabe

Uranus (Abitur BY 2001 GK A5-1/2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

 

NASA/JPL-Caltech / Public domain
Abb. 1 Uranus

1) William HERSCHEL entdeckte 1781 im Sternbild Stier ein Objekt, das in seinem Teleskop deutlich größer erschien als ein Fixstern. Weitere Beobachtungen zeigten, dass sich das Objekt näherungsweise auf einer Kreisbahn um die Sonne bewegt. HERSCHEL hatte damit am 13.3.1781 den Planeten Uranus entdeckt.

a)Später konnte man die synodische Umlaufzeit von Uranus zu \(369{,}6\,{\rm{d}}\) bestimmen. Berechnen Sie damit die siderische Umlaufzeit und die große Halbachse des Planeten Uranus. (6 BE)

Am Tag der Entdeckung von Uranus betrug der Winkel \(\varphi \) zwischen den Richtungen Sonne-Erde und Sonne-Uranus \(85^\circ \). In den folgenden Wochen wurde der Winkel \(\varphi \) täglich um \(\Delta \varphi \) größer.

b1) Fertigen Sie dazu eine nichtmaßstäbliche Skizze und berechnen Sie den Wert von \(\Delta \varphi \)  in Winkelminuten. [zur Kontrolle: \(\Delta \varphi  = 58'\)]

b2) Berechnen Sie, wie viele Tage vor seiner Entdeckung Uranus letztmals in Opposition zur Sonne stand (insgesamt 9 BE)

c)Geben Sie an, welche Planeten in Opposition zur Sonne stehen können. Erläutern Sie, was sich allgemein über die Beobachtbarkeit von Planeten in Oppositionsstellung zur Sonne aussagen lässt. Begründen Sie Ihre Antwort. (4 BE)

d)In Oppositionsstellung erschien Uranus in HERSCHELs Teleskop mit einem Winkeldurchmesser von etwa \(3{,}9''\). Berechnen Sie, welchen Radius man damit für Uranus abschätzen konnte. (Ergebnis in Vielfachen des Erdradius) (5 BE)

 

2) 1986 entdeckte die Raumsonde Voyager 2 den kleinen Uranusmond Ophelia. Dieser hat eine annähernd kreisförmige Bahn, deren Abstand vom Zentrum des Uranus \(2{,}1\) Uranusradien beträgt. Die Umlaufdauer von Ophelia beträgt \(9{,}0\) Stunden.

a)Berechnen Sie die Masse und die mittlere Dichte des Uranus. Erläutern Sie, welchen Schluss Sie aus dem Wert für die mittlere Dichte über die grundsätzliche Beschaffenheit von Uranus ziehen können. (9 BE )

b)Uranus rotiert in etwa 17 Stunden um eine Achse, die nahezu in seiner Bahnebene liegt. Geben Sie an, wie sich am Pol des Uranus die Höhe der Sonne über dem Horizont während einer Umdrehung um die eigene Achse verändert. Geben Sie weiter an, wie sich die Sonnenhöhe an einem Pol des Uranus während eines Umlaufs um die Sonne ändert. Begründen Sie Ihre Antwort mit einer beschrifteten Skizze. (9 BE)

c1) Berechnen Sie die von der Sonne auf den Uranus einfallende Strahlungsleistung.

c2) Die Temperatur an der bewegten Wolkenoberfläche des Uranus hat überall annähernd den Wert \(58\rm{K}\). Berechnen Sie, welche Strahlungsleistung Uranus auf Grund seiner Temperatur emittiert.

c3) Erläutern Sie, wie Uranus trotz der unterschiedlichen Werte in den Teilaufgaben α) und β) im Strahlungsgleichgewicht sein kann. (insgesamt 9 BE)

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Aufgabe 1)

a)Die siderische Umlaufzeit ergibt sich aus\[\frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}}}}} = \frac{1}{{{T_{{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{{{T_{{\rm{syn}}}}}} \Rightarrow \frac{1}{{{T_{{\rm{sid}}}}}} = \frac{1}{{365,25{\rm{d}}}} - \frac{1}{{369,6{\rm{d}}}} \Rightarrow {T_{{\rm{sid}}}} = 31034{\rm{d}} = 85{\rm{a}}\]Mit Hilfe des 3. Keplerschen Gesetzes folgt für die große Halbachse \[\frac{{T_{\rm{E}}^2}}{{T_{\rm{U}}^2}} = \frac{{a_{\rm{E}}^3}}{{a_{\rm{U}}^3}} \Rightarrow {a_{\rm{U}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {85{\rm{AE}}} \right)}^2}}} = 19{,}3{\rm{AE}}\]

b1) Die Erde bewegt sich pro Tag um einen Winkel von \( \frac{360^\circ}{365,25} = 0,986^\circ \) .
Der Uranus bewegt sich pro Tag um einen Winkel von \( \frac{0,986^\circ}{85} = 0,012^\circ \)
Der Unterschied ist: demnach
\[\Delta \varphi  = 0,986^\circ  - 0,012^\circ  = 0,974^\circ  = 58'\]

b2) \[\frac{{85^\circ }}{{0,974^\circ }} = 87\]
Sonne und Uranus standen also vor 87 Tagen in Opposition.

c)Nur obere Planeten können in Opposition stehen. In Opposition ist einerseits der Abstand zum Planeten am geringsten, damit ist der Planet am hellsten. Andrerseits kann man den Stern in Oppositionsstellung die ganze Nacht sehen, da der Planet auf der Nachtseite der Erde steht.

d)Es gilt\[\alpha  = \frac{{2{\mkern 1mu}  \cdot {r_{\rm{U}}}}}{{{a_{\rm{U}}} - {a_{\rm{E}}}}} \Leftrightarrow {r_{\rm{U}}} = \frac{{\alpha  \cdot ({a_{\rm{U}}} - {a_{\rm{E}}})}}{2} \Rightarrow {r_{\rm{U}}} = \frac{{3,9 \cdot \frac{\pi }{{180 \cdot 3600}} \cdot (19,3 - 1) \cdot 1,5 \cdot {{10}^8}{\rm{km}}}}{2} = 25950{\rm{km}} = 4{,}08 \cdot {r_{\rm{E}}}\]

 

Aufgabe 2)

a)Für die Masse von Uranus gilt
\[{\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{G \cdot M}} \Leftrightarrow M = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {r^3}}}{{G \cdot {T^2}}} \Rightarrow M = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{(2,1 \cdot 2,6 \cdot {{10}^7}{\rm{m}})}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{(9,0 \cdot 3600{\rm{s}})}^2}}} = 9,2 \cdot {{10}^{25}}{\rm{kg}}}\]
Für die Dichte von Uranus gilt
\[{\rho  = \frac{M}{V} = \frac{M}{{\frac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi }} \Rightarrow \rho  = \frac{{9,2 \cdot {{10}^{25}}{\rm{kg}}}}{{\frac{4}{3} \cdot {{(2,6 \cdot {{10}^7}{\rm{m}})}^3} \cdot \pi }} = 1,2\frac{{\rm{t}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,2\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\]
Die Dichte ist etwa die Dichte von Wasser und damit wesentlich leichter als die Dichte der Erde, Uranus ist also ein Gasplanet.

b)Während einer Uranus-Umdrehung ändert sich die Sonnenhöhe am Pol nicht, die Sonne dreht sich auf gleicher Höhe einmal um den Horizont. Während eines Umlaufs um die Sonne ändert die Sonne ihre Höhe von \(-90^\circ \) bis \(+90^\circ \) und zurück.

c1)Für die Strahlungsleistung gilt \[{P_{{\rm{ein}}}} = \frac{{{L_{\rm{S}}} \cdot r_{\rm{U}}^2 \cdot \pi }}{{4 \cdot a_{\rm{U}}^2 \cdot \pi }} \Rightarrow {P_{{\rm{ein}}}} = \frac{{3,82 \cdot {{10}^{26}}{\rm{W}} \cdot {{(2,6 \cdot {{10}^7}{\rm{m}})}^2}}}{{4 \cdot {{(19,3 \cdot 1,5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}})}^2}}} = 7,5 \cdot {10^{15}}{\rm{W}}\]

c2)Die emittierte Strahlungsleistung ergibt sich aus \[{P_{{\rm{ab}}{\rm{,Temp}}}} = \sigma  \cdot 4 \cdot {r^2} \cdot \pi  \cdot {T^4} \Rightarrow {P_{{\rm{ab}}{\rm{,Temp}}}} = 5,67 \cdot {10^{ - 8}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {{\rm{K}}^{\rm{4}}}}} \cdot 4 \cdot {(2,6 \cdot {10^7}{\rm{m}})^2} \cdot \pi  \cdot {(58{\rm{K}})^4} = 5,5 \cdot {10^{15}}{\rm{W}}\]

c3) Das eingestrahlte Licht wird zum großen Teil an der Wolkenschicht direkt reflektiert (großes Albedo). Dieser reflektierte Anteil trägt nicht zur Erwärmung des Uranus bei.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem