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Aufgabe

Grafische Bestätigung des dritten KEPLERschen Gesetzes

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Benutzen Sie für die Lösung der folgenden Aufgabe die Himmelskörper-Tabelle.

a)Füllen Sie die folgende Tabelle aus.

Planet
Symbol
a/aE
T/TE
Erde
 
 
Mars
 
 
Jupiter
 
 
Saturn
 
 
Uranus
 
 
Neptun
 
 
Pluto
 
 

b)Tragen Sie die Tabellenwerte in ein doppelt-logarithmisches Papier (Hochwertachse: T/TE; Rechtswertachse a/aE). Bestätigen Sie mit Hilfe der Graphik das dritte Gesetz von Kepler und bestimmen Sie die Konstante T2/a3 für das Sonnensystem.

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a)

Planet
Symbol
a/aE
T/TE
Erde
1,00
1,00
Mars
1,51
1,88
Jupiter
5,20
11,9
Saturn
9,54
29,5
Uranus
19,2
84,0
Neptun
30,1
165
Pluto
39,8
248

b)

Im doppelt lograrithmischen Papier ergibt sich eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1,5 = 3/2. Daraus folgt das 3. Gesetz von Kepler:

\[\begin{array}{l}\log \left( {\frac{T}{{{T_E}}}} \right) = \frac{3}{2} \cdot \log \left( {\frac{a}{{{a_E}}}} \right) = \log \left( {\frac{T}{{{T_E}}}} \right) = \log {\left( {\frac{a}{{{a_E}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \\\left( {\frac{T}{{{T_E}}}} \right) = {\left( {\frac{a}{{{a_E}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow {\left( {\frac{T}{{{T_E}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{a}{{{a_E}}}} \right)^3} \Rightarrow \frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = \frac{{T_E^2}}{{a_E^3}} = {C_S}\end{array}\]

Berechnung der Konstante Cs für das Sonnensystem:

\[{C_S} = \frac{{T_E^2}}{{a_E^3}} \Rightarrow {C_S} = \frac{{{{1,00}^2}}}{{{{\left( {1,50 \cdot {{10}^{11}}} \right)}^3}}}\frac{{{a^2}}}{{{m^3}}} = 2,96 \cdot {10^{ - 34}}\frac{{{a^2}}}{{{m^3}}}\]