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Aufgabe

Grafische Bestätigung des dritten KEPLERschen Gesetzes

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Benutzen Sie für die Lösung der folgenden Aufgabe die Himmelskörper-Tabelle.

a)Füllen Sie die folgende Tabelle aus.

Mustertabelle zum Eintragen der Verhältnisse der Umlaufzeiten und der großen Halbachsen
Planet Symbol a/aE T/TE
Erde
   
Mars
   
Jupiter
   
Saturn
   
Uranus
   
Neptun
   

b)Tragen Sie die Tabellenwerte in ein doppelt-logarithmisches Papier (Hochwertachse: T/TE; Rechtswertachse a/aE). Bestätigen Sie mit Hilfe der Graphik das dritte Gesetz von Kepler und bestimmen Sie die Konstante T2/a3 für das Sonnensystem.

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a)

Musterlösung (Die Werte können je nach Quelle leicht abweichen)

Planet

Symbol a/aE T/TE
Erde
1,00 1,00
Mars
1,51 1,88
Jupiter
5,2 11,9
Saturn
9,54 29,5
Uranus
19,2 84,0
Neptun
30,1 165,00

b)

Joachim Herz Stiftung Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Verhältnisse der großen Halbachsen aufgetragen gegen die Verhältnisse der Umlaufzeiten, mit logarithmischer Skalierung

Im doppelt lograrithmischen Papier ergibt sich eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1,5 = 3/2. Daraus folgt das 3. Gesetz von Kepler:

\[\begin{array}{l}\log \left( {\frac{T}{{{T_E}}}} \right) = \frac{3}{2} \cdot \log \left( {\frac{a}{{{a_E}}}} \right) = \log \left( {\frac{T}{{{T_E}}}} \right) = \log {\left( {\frac{a}{{{a_E}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \\\left( {\frac{T}{{{T_E}}}} \right) = {\left( {\frac{a}{{{a_E}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow {\left( {\frac{T}{{{T_E}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{a}{{{a_E}}}} \right)^3} \Rightarrow \frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = \frac{{T_E^2}}{{a_E^3}} = {C_S}\end{array}\]

Berechnung der Konstante Cs für das Sonnensystem:

\[{C_S} = \frac{{T_E^2}}{{a_E^3}} \Rightarrow {C_S} = \frac{{{{1,00}^2}}}{{{{\left( {1,50 \cdot {{10}^{11}}} \right)}^3}}}\frac{{{a^2}}}{{{m^3}}} = 2,96 \cdot {10^{ - 34}}\frac{{{a^2}}}{{{m^3}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Weltbilder, KEPLERsche Gesetze