Waagerechter und schräger Wurf

Aus der Aufgabenstellung entnehmen wir die Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) mit \(v_0=14{,}14\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). Da der Körper schräg nach unten geworfen wird, gilt für die Weite des Anfangswinkels \(\alpha_0=-45{,}0^\circ\). Damit ergibt sich (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v_{x,0}=v_0 \cdot \cos \left(\alpha_0\right) \Rightarrow  v_{x,0}= 14{,}14\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot \cos \left(-45{,}0^\circ\right)=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]\[v_{y,0}=v_0 \cdot \sin \left(\alpha_0\right) \Rightarrow  v_{y,0}= 14{,}14\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot \sin \left(-45{,}0^\circ\right)=-10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

Aus der Aufgabenstellung entnehmen wir die Anfangshöhe \(h=120\,\rm{m}\). Mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a) ergibt sich aus den Gleichungen \((1)\) bis \((4)\) des Grundwissens zum schrägen Wurf nach unten:

Die Bewegung in \(x\)-Richtung ist eine gleichförmige Bewegung mit \[x(t)=v_{x,0} \cdot t \Rightarrow x(t)=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t\]und\[v_x(t)=v_{x,0} \Rightarrow v_x(t)=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

Die Bewegung in \(y\)-Richtung ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit mit\[y(t)=-{\textstyle{1 \over 2}} \cdot g \cdot  t^2 + v_{y,0} \cdot t +h \Rightarrow y(t)=-5{,}00\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot t^2-10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t +120\,\rm{m}\]und\[v_y(t)=-g \cdot t + v_{y,0} \Rightarrow v_y(t)=-10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot t - 10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \]

Die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) berechnet sich mit Gleichung \((5)\) des Grundwissens. Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte liefert (bei drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[{t_{\rm{W}}} = \frac{{-10{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + \sqrt {{{\left( {-10{,}0\, \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + 2 \cdot 10{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 120\,{\rm{m}}} }}{{10{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 4{,}00\,{\rm{s}}\]Die Wurfweite \(w\) berechnet sich mit Gleichung \((6)\) des Grundwissens. Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte liefert (bei drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[w=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 4{,}00\,{\rm{s}} = 40{,}0\,\rm{m}\]

Aus Aufgabenteil c) wissen wir, dass der Körper nach \(t_{\rm{W}}=4{,}00\,{\rm{s}}\) auf dem Erdboden auftrifft.

Der Betrag \(v_{\rm{W}}\) der Geschwindigkeit beim Aufprall des Körpers auf dem Erdboden ergibt sich nach dem Satz des PYTHAGORAS durch\[v_{\rm{W}} = \sqrt {{v_x}{{({t_{\rm{W}}})}^2} + {v_y}{{({t_{\rm{W}}})}^2}} \]Mit \(v_x(t_{\rm{W}}) = v_{x,0}\) (gleichförmige Bewegung in \(x\)-Richtung) und \({{v_y}({t_{\rm{W}}}) =  - g \cdot {t_{\rm{W}}}} + v_{y,0}\) (gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit in \(y\)-Richtung) erhalten wir\[{v_{\rm{W}}} = \sqrt {{v_{x,0}}^2 + {{\left( { - g \cdot {t_{\rm{W}}}} + v_{y,0}\right)}^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v_{\rm{W}} = \sqrt {\left(10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2 + \left( -10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 4{,}00\,\rm{s} -10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2}  = 51{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

Aus Aufgabenteil c) wissen wir, dass der Körper nach \(t_{\rm{W}}=4{,}00\,{\rm{s}}\) auf dem Erdboden auftrifft.

Die Weite \(\alpha_{\rm{W}}\) des Winkels zwischen dem Erdboden und der Flugbahn des Körpers beim Aufprallen auf den Erdboden ergibt sich aus der Trigonometrie durch\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{{{v_y}(t_{\rm{W}})}}{{{v_x}(t_{\rm{W}})}}\]Mit den gleichen Überlegungen wir in Aufgabenteil d) ergibt sich\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-g \cdot t_{\rm{W}} + v_{y,0}} {v_{x,0}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 4{,}00\,\rm{s} -10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} } {10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}=-5{,}00\]und damit\[\alpha_{\rm{W}}=\arctan(-5{,}00)=-78{,}7^\circ\]