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Grundwissen

Dynamischer Auftrieb und \(c_{\rm{A}}\)-Wert

Das Wichtigste auf einen Blick

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Definition des dynamischen Auftriebs

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Kraft auf einen Körper bei nicht symmetrischer Anströmung

Bewegt sich ein Körper relativ zu einem Fluid, und ist der Körper selbst nicht symmetrisch oder wird der Körper nicht symmetrisch zu seiner Form angeströmt, so erfährt der Körper eine Kraft \(\vec F\), die nicht mehr entgegen der relativen Bewegungsrichtung des Fluids zum Körper gerichtet ist, sondern schräg dazu verläuft (Abb. 1). Du hast diese Kraft und ihre Richtung sicherlich beim Drachensteigen schon selbst gespürt.

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Abb. 2 Definition des dynamischen Auftriebs

Die Kraft \(\vec F\) zerlegen wir nun in zwei Komponenten (Abb. 2):

  • Die eine Komponente soll genau in die Strömungsrichtung zeigen. Wir erkennen in dieser Komponete den uns bereits bekannten Strömungswiderstand \(\vec F_{\rm{w}}\) wieder.

  • Die andere Komponente soll genau senkrecht zur Strömungsrichtung zeigen. Das ist eine willkürliche Definition, die aus praktischen Gründen so gewählt wurde. Diese Komponente bezeichen wir als den dynamischen Auftrieb \(\vec F_{\rm{A}}\).

 

Erklärung des dynamischen Auftriebs

Die Entstehung des Auftriebs ist durch das Zusammenspiel von drei Effekten zu erklären:

  • dem BERNOULLI-Effekt,
  • der Umlenkung des Luftstroms und damit eines resultierenden Rückstoßes und
  • einer Zirkulationsströmung um die Tragfläche.

Wir betrachten im Folgenden die Strömung um den Querschnitt einer typischen Tragfläche. Auf der Unterseite ist diese flach, die Oberseite ist dagegen gewölbt.

Häufig wird nur der BERNOULLI-Effekt zur Erklärung verwendet: Die Tragfläche teilt den ankommenden Luftstrom in einen Teil, der über der Tragfläche strömt und einen Teil, der unter der Tragfläche strömt. Durch die Wölbung der Oberseite der Tragfläche muss die Strömung über die Oberseite schneller zur Hinterkante gelangen, um gleichzeitig mit der Strömung unter der Unterseite dort anzukommen. Durch die höhere Geschwindigkeit auf der Oberseite muss nach BERNOULLI dann dort der Druck absinken. Somit entstehen auf der Oberseite ein resultierender Sog und auf der Unterseite ein Überdruck, welche die Tragfläche anheben.

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Abb.

Der zweite Effekt geschieht durch die Umlenkung des Luftstroms: Dadurch, dass die Tragfläche mit einem Anstellwinkel schräg in der Anströmung steht, wird der ankommende Impulsstrom der strömenden Luft nach unten umgelenkt. Die Änderung des Impulses resultiert in einer Kraft auf die Luftteilchen. Diese wiederum erzeugt nach dem Prinzip „actio gleich reactio“ eine Gegenkraft auf die Tragfläche und hebt diese an. Man kann das heutzutage sehr anschaulich mit einer Strömungssimulation zeigen.

Diese Erklärungen reichen aber immer noch nicht aus. Erstens besteht keine Notwendigkeit, dass die beiden Luftströme gleichzeitig die Hinterkante erreichen. Dies ist auch in der Realität nicht der Fall. Zweitens erzeugt auch ein Profil wie oben rechts gezeigt einen Auftrieb. Die Wege entlang Unter- und Oberseite für die Luftströme sind bei diesem Profil aber gleich lang.

CC-BY-NC 4.0 / Benedikt Flurl, Joachim Herz Stiftung
Abb.

Ein dritter, wesentlicher Effekt ist die Entstehung eines Wirbels, des sog. Anfahrwirbels, der an der Hinterkante der Tragfläche durch die unterschiedlich schnell ankommenden Luftströmungen von Ober- und Unterseite entsteht. Nach der Drehimpulserhaltung muss dieser Anfahrwirbel einen gegenläufigen Wirbel erzeugen: dieser verläuft um die gesamte Tragfläche, man spricht auch von einer Zirkulationsströmung. Durch diese Zirkulationsströmung wird nun die Geschwindigkeit unter der Tragfläche verringert und oberhalb der Tragfläche erhöht. Damit ist dann auch der Druckunterschied zwischen Unter- und Oberseite erklärt. Trotz dieser Zirkulation bewegen sich aber alle Luftteilchen immer noch nach hinten, da sich der Tragflügel ja schnell bewegt. Der Anfahrwirbel ist übrigens dafür verantwortlich, dass Flugzeuge nicht unmittelbar hintereinander starten können und an den Landebahnen in Warteschlange stehen. Der Anfahrwirbel ist so energiereich, dass er nachfolgende Flugzeuge umwerfen könnte.

Auch diese Erklärungen waren noch stark vereinfacht, zeigen aber die wesentlichen physikalischen Effekte, die für den dynamischen Auftrieb verantwortlich sind.

Berechnung des Betrags des dynamischen Auftriebs

Experimente zeigen, dass der Betrag \(F_{\rm{A}}\) des dynamischen Auftriebs proportional zur Dichte \(\rho\) des Fluids, zum Inhalt \(A\) der sogenannten Referenzfläche des Körpers, das ist bei Auftriebs- oder Tragflächen die Flügelfläche, nicht die Querschnittsfläche in Strömungsrichtung, und zum Quadrat der Geschwindigkeit \(v\) der Anströmung und ist. Es gilt also\[F_{\rm{A}} \sim \rho \cdot A \cdot v^2 \]Theoretische Überlegungen zeigen, dass exakt gilt\[F_{\rm{A}} = \frac{1}{2} \cdot c_{\rm{A}} \cdot \rho \cdot A \cdot v^2\]Die dimensionslose Größe \(c_{\rm{A}}\) bezeichnet man als Auftriebsbeiwert oder kurz als \(c_{\rm{A}}\)-Wert.

Zur Berechnung des Betrags des dynamischen Auftriebs wird der \(c_{\rm{A}}\)-Wert benötigt, der ähnlich wie der \(c_{\rm{w}}\)-Wert in Experimenten bestimmt wird.

Hinweise

Bei Flugzeugen berechnet man auch den \(c_{\rm{w}}\)-Wert mit dem Inhalt der gesamten Tragflächen und nicht mit dem Inhalt der Stirnfläche des Flugzeugs senkrecht zur Anströmung.

Bei Flugzeugen ist die Gleitzahl \(\epsilon=\frac{c_{\rm{A}}}{c_{\rm{w}}}\), d.i. das Verhältnis aus Auftriebsbeiwert und Luftwiderstandsbeiwert, ein besonders wichtiger Kennwert. Aus den Definitionen von Auftriebsbeiwert und Luftwiderstandsbeiwert ergibt sich gleichzeitig \(\epsilon=\frac{F_{\rm{A}}}{F_{\rm{w}}}\), d.i. das Verhältnis aus Auftriebskraft und Luftwiderstand. Eine hohe Gleitzahl bedeutet im Segelflug ein sehr langsames Absinken bei gleichzeitig weiter Flugstrecke.

Aufgaben

Dynamischer Auftrieb und \(c_{\rm{A}}\)-Wert

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