Ein Skifahrer mit der Masse \(80\rm{kg}\) möchte einen Hang mit dem Neigungswinkel \(10^\circ \) in der direkten Falllinie befahren. Die Haftzahl (Haftreibungskoeffizient) Ski-Schnee beträgt \(0,20\) und die Skispitzen zeigen bereits in Fahrtrichtung.<
a)
Untersuche mit Hilfe einer Rechnung, ob der Skifahrer für seine Schussfahrt anschieben muss, oder ob er bei dieser Neigung von selbst losfährt.
b)
Einmal in Fahrt gleitet der Skifahrer mit zunehmender Geschwindigkeit nach unten.
Berechne, wie groß die Gleitreibungszahl (Gleitreibungskoeffizient) höchstens sein darf, damit dies der Fall ist.
Zuerst berechnet man den Betrag der Hangabtriebskraft \({\vec F_{\rm{HA}}}\):
\[{F_{{\rm{HA}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \sin \left( \alpha \right) = m \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right) \Rightarrow {F_{{\rm{HA}}}} = 80{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \sin \left( {{{10}^0}} \right) = 136{\rm{N}}\]
Dann berechnet man den Betrag der Normalkraft \({\vec F_{\rm{N}}}\)
\[{F_{\rm{N}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \cos \left( \alpha \right) = m \cdot g \cdot \cos \left( \alpha \right) \Rightarrow {F_{\rm{N}}} = 80{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \cos \left( {{{10}^0}} \right) = 773{\rm{N}}\]
und damit den Betrag der maximalen Haftreibungskraft
\[{F_{{\rm{HR}}}} = {F_{\rm{N}}} \cdot {\mu _{{\rm{HR}}}} \Rightarrow {F_{{\rm{HR}}}} = 773{\rm{N}} \cdot 0,20 = 155{\rm{N}}\]
Da der Betrag der maximalen Haftreibungskraft größer als der der Hangabtriebskraft ist, setzt sich der Skifahrer nicht von allein in Bewegung, sondern er muss sich abstoßen.
b)
Die Gleitreibungszahl darf höchstens so groß sein, dass der Betrag der Gleitreibungskraft kleiner als der der Hangabtriebskraft ist:
\[{F_{{\rm{GR}}}} \le {F_{{\rm{HA}}}} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot {\mu _{{\rm{GR}}}}\cdot \cos \left( \alpha \right) \le m \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right) \Leftrightarrow {\mu _{{\rm{GR}}}} \le \frac{\sin \left( \alpha \right)}{\cos \left( \alpha \right)} \Rightarrow {\mu _{{\rm{GR}}}} \le 0,18\]
