Lege eine Perlenkette mit gleich großen Perlen ausgestreckt auf einen Tisch und lasse ein kurzes Stück davon über die Tischkante hängen. Lege zur Vorsicht ein weiches Kissen unter das freihängende Kettenende. Lasse schrittweise immer mehr Perlen überhängen und achte darauf, bei welcher Länge \(l_{\rm{ü}}\) (vgl. die nebenstehende Abbildung) des überhängenden Teils die Kette gerade von selbst zu gleiten beginnt.
a)
Miss die Längen \(l_{\rm{ü}}\) und \(l_{\rm{a}}\) der Kettenstücke gemäß der obigen Abbildung im Moment, wenn die Kette gerade zu gleiten beginnt.
b)
Untersuche, welcher Zusammenhang in diesem "Grenzfall" zwischen der Haftkraft des auf dem Tisch liegenden Kettenteils und dem Gewicht des überhängenden Kettenteils besteht.
Entwickle eine Formel, mit der sich aus \(l_{\rm{ü}}\) und \(l_{\rm{a}}\) Haftzahl (Haftreibungskoeffizient) berechnen lässt.
c)
Berechne die Haftzahl für die in deinem Fall vorliegende Materialkombination Tischplatte / Kette.
In dem Moment, wenn die Kette gerade zu gleiten beginnt, überschreitet die Gewichtskraft \(F_{\rm{G,ü}}\) des überhängenden Teils der Perlen gerade die maximale Haftreibungskraft \(F_{\rm{HR,max}}\) des aufliegenden Teils. Direkt zuvor ist gilt daher \[F_{\rm{G,ü}}=F_{\rm{HR,max}}\Leftrightarrow m_{\rm{ü}}\cdot g=m_{\rm{a}}\cdot g\cdot \mu_{\rm{HR}}\]Da die Perlenkette (idealisiert) überall die gleiche Dichte besitzt, ist die Masse des aufliegenden bzw. des überhängenden Teils nur von der Gesamtmasse \(m_{\rm{ges}}\) und der jeweiligen Länge abhängig. Es gilt \[m_{a}=m_{\rm{ges}}\cdot \frac{l_{\rm{a}}}{l_{\rm{ges}}}\quad\text{bzw.}\quad m_{ü}=m_{\rm{ges}}\cdot \frac{l_{\rm{ü}}}{l_{\rm{ges}}}\]Einsetzen der Massen in die obere Gleichung führt zu\[m_{\rm{ges}}\cdot \frac{l_{\rm{ü}}}{l_{\rm{ges}}}\cdot g=m_{\rm{ges}}\cdot \frac{l_{\rm{a}}}{l_{\rm{ges}}}\cdot g\cdot \mu_{\rm{HR}}\]Teilen durch \(m_{\rm{ges}}\) und \(g\) sowie multiplizieren mit \(l_{\rm{ges}}\) liefert \[{l_{\rm{ü}}}={l_{\rm{a}}}\cdot \mu_{\rm{HR}}\]Der Haftreibungskoeffizient ergibt sich also allgemein aus \[\mu_{\rm{HR}}=\frac{l_{\rm{ü}}}{l_{\rm{a}}}\]
