Mechanische Wellen

\[\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T} \Leftrightarrow T = \frac{{2 \cdot \pi }}{\omega } \Rightarrow T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\frac{\pi }{2} \cdot \frac{1}{{\rm{s}}}}} = 4{,}0\,{\rm{s}}\]\[f = \frac{1}{T} \Rightarrow f = \frac{1}{4{,}0\,{\rm{s}}} = 0{,}25\,{\rm{Hz}}\]\[\lambda  = \frac{c}{f} = c \cdot T \Rightarrow \lambda  = 7{,}5\,\frac{{{\rm{mm}}}}{{\rm{s}}} \cdot 4{,}0\,{\rm{s}} = 30\,{\rm{mm}}=0{,}030\,\rm{m}\]

Der Term der Wellenfunktion lautet\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) \Rightarrow y(x;t) = 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4,0{\rm{s}}}} - \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)} \right)\]

Funktionsterme und Graphen der gesuchten Momentanbilder:\[\begin{eqnarray}y(x;{t_1}) &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{{4,0{\rm{s}}}}{{4,0{\rm{s}}}} - \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {1 - \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  - 2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( { - 2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\\ &=&  - 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\end{eqnarray}\]\[\begin{eqnarray}y(x;{t_2}) &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{{6,0{\rm{s}}}}{{4,0{\rm{s}}}} - \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {1,5 - \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {3\pi  - 2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\\ &=&  - 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( { - 2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\end{eqnarray}\]\[\begin{eqnarray}y(x;{t_3}) &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{{9,0{\rm{s}}}}{{4,0{\rm{s}}}} - \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {2,25 - \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {4,5\pi  - 2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {0,5\pi  - 2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \cos \left( { - 2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \cos \left( {2\pi \frac{x}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)\end{eqnarray}\]

Joachim Herz Stiftung

An der Stelle \(x_1 = 5,25\rm{cm}\) beginnt die Schwingung nach der Zeit \({t_{\rm{1}}} = \frac{{{x_1}}}{c} = 7,0{\rm{s}}\). Dies ergibt sich auch aus der Wellenfunktion \[\begin{eqnarray}y({x_1};t) &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4,0{\rm{s}}}} - \frac{{0,0525{\rm{m}}}}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4,0{\rm{s}}}} - 1,75} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4,0{\rm{s}}}} - \frac{{7,0{\rm{s}}}}{{4,0{\rm{s}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{{t - 7,0{\rm{s}}}}{{4,0{\rm{s}}}}} \right)} \right)\end{eqnarray}\]Für die Stelle \(x_2\) folgt entsprechend\[\begin{eqnarray}y({x_1};t) &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4,0{\rm{s}}}} - \frac{{0,075{\rm{m}}}}{{0,030{\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4,0{\rm{s}}}} - 2,5} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4,0{\rm{s}}}} - \frac{{10,0{\rm{s}}}}{{4,0{\rm{s}}}}} \right)} \right)\\ &=& 0,01{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{{t - 10,0{\rm{s}}}}{{4,0{\rm{s}}}}} \right)} \right)\end{eqnarray}\]
d.h. hier beginnt die Schwingung erst nach \(10\rm{s}\).