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Aufgabe

Lösung der Differentialgleichung des ungedämpften Feder-Schwere-Pendels

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Im Grundwissen haben wir hergeleitet, dass die Bewegung eines (ungedämpften) Feder-Schwere-Pendels durch die Differentialgleichung\[\ddot y(t) + \frac{D}{m} \cdot y(t) = 0\quad (***)\]beschrieben wird. Die Theorie der Differentialgleichungen liefert uns bei den Anfangsbedingungen \(y(0) = y_0\) und \( \dot y(0) = v(0)= 0 \) als Lösungsfunktion die Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot  \cos \left( {\omega_0 \cdot t}\right) \quad {\rm{mit}} \quad \omega_0 = \sqrt {\frac{D}{m}}\].

Dass die Lösungsfunktion korrekt ist sollst du in dieser Aufgabe nachvollziehen. Dabei kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

Bestätige, dass die Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot  \cos \left( {\omega_0 \cdot t}\right) \quad {\rm{mit}} \quad \omega_0 = \sqrt {\frac{D}{m}}\]eine Lösung der Differentialgleichung \((***)\) ist.

Bestätige weiter, dass diese Funktion auch die Anfangsbedingungen \(y(0) = {y_0}\) und \( \dot y(0) = v(0)= 0 \) erfüllt.