Ein Federkraftmesser mit dem Messbereich \(25\rm{N}\) hängt von der Decke und zieht gleichzeitig an einem anderen Federkraftmesser, der am Fußboden befestigt ist.
Professor Radlos fragt sich, ob er den oberen Federkraftmesser überdehnt, wenn er zusätzlich ein Massestück von \(1\rm{kg}\) anhängt.
Die Zeichnung gibt Dir einen Hinweis, wie sich die Federhärten des oberen Kraftmessers \({D_{\rm{o}}}\) und des unteren Kraftmessers \({D_{\rm{u}}}\) zueinander verhalten.
Wir verabreden, dass alle Kräfte an dem in den Abbildungen rot markierten Punkt angreifen sollen.
Betrachtung des Anfangszustandes
Die beiden Federwaagen zeigen die gleiche Kraft von \(20\rm{N}\) an. Im rot markierten Punkt zieht die obere Feder (Federhärte \(D_\rm{o}\)) mit dem Kraftbetrag \(F_\rm{o}\) nach oben und die untere Feder (Federhärte \(D_\rm{u}\)) mit dem Kraftbetrag \(F_\rm{u}\) nach unten. Es herrscht Kräftegleichgewicht und es gilt\[{F_{\rm{o}}} = {F_{\rm{u}}} = 20{\rm{N}}\quad(1)\]Aus \((1)\) folgt wegen des Gesetzes von HOOKE\[{D_{\rm{o}}} \cdot \Delta {x_{\rm{o}}} = {D_{\rm{u}}} \cdot \Delta {x_{\rm{u}}} (=20\rm{N})\quad(2)\]Da \(\Delta {x_{\rm{o}}}\) doppelt so groß ist wie \(\Delta {x_{\rm{u}}}\) folgt aus \((2)\)\[{D_{\rm{o}}} \cdot 2 \cdot \Delta {x_{\rm{u}}} = {D_{\rm{u}}} \cdot \Delta {x_{\rm{u}}} \Leftrightarrow {D_{\rm{u}}} = \frac{{2 \cdot \Delta {x_{\rm{u}}}}}{{\Delta {x_{\rm{u}}}}} \cdot {D_{\rm{o}}} = 2 \cdot {D_{\rm{o}}}\quad(3)\]
Betrachtung des Endzustandes
Durch Anhängen des \(1\rm{kg}\)-Stücks (entspricht der Gewichtskraft von \({F_{\rm{G}}} = 10{\rm{N}}\)) wird der rote Punkt in obiger Zeichnung um \(\Delta x\) nach unten verschoben. Für das Kräftegleichgewicht gilt dann\[\begin{eqnarray}{D_{\rm{o}}} \cdot \left( {\Delta {x_{\rm{o}}} + \Delta x} \right) &=& {F_{\rm{G}}} + {D_{\rm{u}}} \cdot \left( {\Delta {x_{\rm{u}}} - \Delta x} \right)\\ \Leftrightarrow {D_{\rm{o}}} \cdot \Delta {x_{\rm{o}}} + {D_{\rm{o}}} \cdot \Delta x &=& {F_{\rm{G}}} + {D_{\rm{u}}} \cdot \Delta {x_{\rm{u}}} - {D_{\rm{u}}} \cdot \Delta x \quad(4)\end{eqnarray}\]Mit \((2)\) ergibt sich\[{D_{\rm{o}}} \cdot \Delta x = {F_{\rm{G}}} - {D_{\rm{u}}} \cdot \Delta x \Leftrightarrow \left( {{D_{\rm{o}}} + {D_{\rm{u}}}} \right) \cdot \Delta x = {F_{\rm{G}}}\quad(5)\]und mit \((3)\)\[\left( {{D_{\rm{o}}} + 2 \cdot {D_{\rm{o}}}} \right) \cdot \Delta x = 3 \cdot {D_{\rm{o}}} \cdot \Delta x = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow {D_{\rm{o}}} \cdot \Delta x = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{3}\quad(6)\]Für die Gesamtbelastung der oberen Feder ergibt sich schließlich mit \((2)\) und \((6)\)\[{F_{{\rm{ges}}}} = {D_{\rm{o}}} \cdot \left( {\Delta {x_{\rm{o}}} + \Delta x} \right) = {D_{\rm{o}}} \cdot \Delta {x_{\rm{o}}} + {D_{\rm{o}}} \cdot \Delta x = 20{\rm{N}} + \frac{{10}}{3}{\rm{N}} = 23{\rm{N}}\]Professor Radlos braucht sich also keine Sorgen machen, die Feder des oberen Kraftmessers wird nicht überdehnt.
